Использование частных решений для построения общего решения

• Пусть известно частное решение Риккати Тогда подстановка

приводит к линейному уравнению для z и, следовательно, уравнение Риккати решается в квадратурах.

П р и м е р 9. Проинтегрировать уравнение

Поищем частное решение вида Подставляя это в уравнение, находим Простейшим решением этого уравнения является n = 1, а = 1, т.е. у₁ = х. Подстановка приводит к линейному уравнению , которое легко интегрируется: Окончательно .

• Пусть и два различных частных решения уравнения

(1). Тогда общее решение можно найти по формуле:

где .

Частному решению у₁(х) соответствует значение , а решению у₂(х) – значение С = 0.

• Пусть три различных частных

решения уравнения (1). Тогда общее решение находится без квадратур:

Это означает, что уравнение Риккати имеет фундаментальную систему решений.

5. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
   • 5 Уравнения, не разрешенные относительно производной ………………………………. 12
   • 5.3 Уравнения вида ……………………………………………………………..13
   • Предисловие
   • Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности
   • 1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной.
   • Особые решения
   • Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
   • 2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
   • Уравнение вида
   • Однородные уравнения и приводящиеся к ним
   • Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
   • Уравнение Бернулли
   • 2.7 Уравнение вида
   • Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
   • 3.1 Уравнение в полных дифференциалах
   • Интегрирующий множитель
   • Уравнение Риккати
   • Использование частных решений для построения общего решения
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной
   • 5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»
   • Уравнения вида
   • Уравнения вида
   • Уравнение Клеро
   • 5.5 Уравнение Лагранжа
   • Приближенные аналитические методы решения уравнений
   • 6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара)
   • Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной
   • Метод регулярного разложения по малому параметру
   • Список литературы
   • Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
   • 446086 Самара, Московское шоссе, 34.

   Yandex.RTB R-A-252273-4