1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относи­тельно производной, имеет вид

. (1)

Иногда его записывают с помощью дифференциалов:

Решением дифференциального уравнения называется функция y(x), которая при

подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общим решением дифференциального уравнения называется совокупность всех его частных решений. В ряде случаев общее решение удается записать в виде функции зависящей от одной произвольной постоянной С ; при конкретных значениях С эта функция определяет конкретные решения уравнения (частные решения). На практике чаще встречается запись общего решения в неявном виде Ф(x,y,C) = 0 или в параметрической форме: x = x (t,C), y = y (t,C).

Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство

кривых на плоскости ху , зависящих от одного параметра С ; эти кривые называются интегральными кривыми данного уравнения. Частному решению (частному интегралу) соответствует одна кривая семейства, проходящая через заданную точку плоскости.

Уравнение для каждой точки (х,у) определяет значение , т.е. угловой

коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку (задает поле направлений на плоскости ху ). Задача решения дифференциального уравнения первого порядка с геометрической точки зрения состоит в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.

2. Задача Коши. Теорема единственности

• Задача Коши : требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее

начальному условию

у = у₀ при х = х₀ . (2)

Геометрический смысл задачи Коши: надо найти интегральную кривую уравнения

(1), проходящую через точку (х₀, у₀).

Условие (2) часто записывают в виде у(х₀) = у₀ .

• Теорема единственности. Пусть функция f(х,у) непрерывна в замкнутой

области D и имеет там ограниченную частную производную по у (или выполняется условие Липшица: где M – некоторая положительная константа). Тогда существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию(2).