Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной

Решение задачи Коши (1) – (2) можно искать в виде ряда Тейлора по степеням

разности (х – х₀):

(4)

Первый коэффициент в решении (4) задается начальным условием (2).

Последующие значения производных искомой величины в точке х = х₀ определяются из уравнения (1) и его следствий (полученных путем последовательного дифференцирования уравнения) с учетом начального условия (2). В частности, полагая в уравнении (1) х = х₀ и подставляя значение (2), находим значение первой производной:

(5)

Дифференцируя далее уравнение (1), имеем

(6)

Подставив в правую часть этого равенства х = х₀ , начальное условие (2) и первую производную (5), вычислим значение второй производной:

.

Подобным образом определяются и последующие производные искомой величины при х = х₀ .

Полученное данным методом решение (4) обычно можно использовать лишь в

некоторой (достаточно малой) окрестности точки х = х₀ : .

П р и м е р 11. Найти первые четыре члена разложения решения задачи Коши:

Подставляя в исходное уравнение начальные условия, находим Дифференцируем исходное уравнение:

Подставляя сюда начальные условия, находим Дифференцируя последнее уравнение и подставляя в полученное выражение для начальные условия, находим Аналогичным образом Окончательно

.

2. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
   • 5 Уравнения, не разрешенные относительно производной ………………………………. 12
   • 5.3 Уравнения вида ……………………………………………………………..13
   • Предисловие
   • Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности
   • 1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной.
   • Особые решения
   • Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
   • 2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
   • Уравнение вида
   • Однородные уравнения и приводящиеся к ним
   • Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
   • Уравнение Бернулли
   • 2.7 Уравнение вида
   • Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
   • 3.1 Уравнение в полных дифференциалах
   • Интегрирующий множитель
   • Уравнение Риккати
   • Использование частных решений для построения общего решения
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной
   • 5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»
   • Уравнения вида
   • Уравнения вида
   • Уравнение Клеро
   • 5.5 Уравнение Лагранжа
   • Приближенные аналитические методы решения уравнений
   • 6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара)
   • Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной
   • Метод регулярного разложения по малому параметру
   • Список литературы
   • Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
   • 446086 Самара, Московское шоссе, 34.

   Yandex.RTB R-A-252273-4