Однородные уравнения и приводящиеся к ним

• Однородные уравнения не меняются при одновременном растяжении

(сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: где - произвольная постоянная Они могут быть записаны в виде

Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными см. разд. 2.1

П р и м е р 3. Решить уравнение

Подстановка приводит это уравнение к виду или Интегрируя находим и .

• К однородному уравнению приводится уравнение

При надо перейти к новым переменным где постоянные и определяем путем решения линейной алгебраической системы

В результате для функции получим уравнение

Последнее после деления числителя и знаменателя аргумента функции f на принимает вид однородного уравнения, правая часть которого зависит только от отношения переменных

При см. уравнение из разд. 2.2.

П р и м е р 4. Решить уравнение

Находим точку пересечения прямых, полученных приравниванием к нулю числителя и знаменателя:

Откуда х₀ =1, у₀ = 2. После замены уравнение принимает вид

или

Получилось однородное уравнение, которое решается заменой В результате находим

.

Возводя в квадрат и возвращаясь к старым переменным, имеем

2. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
   • 5 Уравнения, не разрешенные относительно производной ………………………………. 12
   • 5.3 Уравнения вида ……………………………………………………………..13
   • Предисловие
   • Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности
   • 1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной.
   • Особые решения
   • Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
   • 2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
   • Уравнение вида
   • Однородные уравнения и приводящиеся к ним
   • Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
   • Уравнение Бернулли
   • 2.7 Уравнение вида
   • Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
   • 3.1 Уравнение в полных дифференциалах
   • Интегрирующий множитель
   • Уравнение Риккати
   • Использование частных решений для построения общего решения
   • Уравнения, не разрешенные относительно производной
   • 5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»
   • Уравнения вида
   • Уравнения вида
   • Уравнение Клеро
   • 5.5 Уравнение Лагранжа
   • Приближенные аналитические методы решения уравнений
   • 6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара)
   • Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной
   • Метод регулярного разложения по малому параметру
   • Список литературы
   • Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
   • 446086 Самара, Московское шоссе, 34.

   Yandex.RTB R-A-252273-4