Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним

• Обобщенно-однородные уравнения не меняются при одновременном

растяжении (сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: где произвольная постоянная, а k – некоторое число. Они могут быть записаны в виде

Замена и = ух^-k приводит обобщенно-однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными , см. разд. 2.1.

• К обобщенно-однородному уравнению сводится уравнение

Для этого надо сделать замену z = e^x и положить

2. Линейное уравнение

Линейное уравнение первого порядка имеет вид

Решение ищем в виде произведения y = uv , где функция v = v(x) удовлетворяет «укороченному» уравнению [в качестве такой функции можно взять частное решение v = e^-F, где ]. Для функции и = и(х) получим уравнение с разделяющимися переменными Интегрируя уравнение для и , находим общее решение

где

П р и м е р 5. Решить задачу Коши:

Записываем это линейное уравнение в стандартном виде

Полагая y = u v, получим

Сгруппировав слагаемые, получим два уравнения:

и

Записываем первое в виде , откуда и = х² + 1. Подставляя это во второе уравнение, находим = 1 или v = х + C. Подставляя сюда х = 1, у = 2, получим С = 0. Решение задачи Коши имеет вид у = х(х²+1).