2.3. Определитель Вронского

Определение. Система функций называется линейно независимой на некотором промежутке, если ни одна из этих функций не представляется в виде линейной комбинации всех остальных.

В случае двух функций это означает, что , то есть. Последнее условие можно переписать в виде≢0 или ≢0. Стоящий в числителе этого выражения определитель называетсяопределителем Вронского для функций и. Таким образом, определитель Вронского для двух линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю.

Пусть – определитель Вронского для линейно независимых решенийиуравнения (2.3). Убедимся подстановкой, что функцияудовлетворяет уравнению

. (3.1)

Действительно,

Поскольку функции иудовлетворяют уравнению (2.3), то

то есть – решение уравнения (3.1). Найдем это решение:

;

Отсюда

,

, ,

,.

В правой части последнего равенства необходимо оставить знак плюс, так как только в этом случае при получается тождество. Таким образом,

(3.2)

Полученная формула называется формулой Лиувилля.

Выше было показано, что определитель Вронского для линейно независимых функций не может быть тождественно равен нулю. Следовательно, существует такая точка , в которой определитель для линейно независимых решений уравнения (2.3)отличен от нуля. Тогда из формулы Лиувилля следует, что функциябудет отлична от нуля при всех значенияхиз рассматриваемого промежутка, поскольку при любом значении оба множителя в правой части формулы (3.2) отличны от нуля.