2.7. Решение лнду 2-го порядка с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

Рассмотрим случай, когда коэффициенты в уравнении (6.1) постоянны, то есть уравнение имеет вид:

(7.1)

где .

Рассмотрим метод отыскания частного решения уравнения (7.1) в случае, когда правая частьимеетспециальный вид. Это метод называется методом неопределённых коэффициентов и состоит в подборе частного решения в зависимости от вида правой части . Рассмотрим правые части уравнения (7.1) следующего вида:

1. , где – многочлен степени, причём некоторые коэффициенты, кроме, могут равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом случае.

1. Если число не является корнем характеристического уравнения (5.2), то частное решение записываем в виде:

,

где – неопределённые коэффициенты, которые подлежат определению методом неопределённых коэффициентов.

Пример 1. Найти общее решение уравнения .

Решение. Для уравнения составляем характеристическое уравнение:. Откуда получаем. Следовательно, общее решение однородного уравнения есть

.

Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 1), причёмне является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение ищем в виде:

,

где A, B – неопределённые коэффициенты.

Найдём производные первого и второго порядков и подставим их в заданное уравнение:

.

Сократим обе части на и приравняем коэффициенты при одинаковых степеняхx в левой и правой частях равенства:

Из полученной системы уравнений находим: . Тогда, а общее решение заданного уравнения есть:

.

Если является корнем кратности соответствующего характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

,

где – неопределённые коэффициенты.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид: , откуда. Тогда общее решение однородного уравненияесть:

.

Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 1). Так как является корнем характеристического уравнения кратности, то частное решение ищется в виде:. Находим неопределённые коэффициентыA, B, C методом, изложенным в примере 1. В результате получаем . Окончательно имеем следующее выражение для общего решения:

.

2. Правая часть , где хотя бы одно из чиселM и N отлично от нуля. Укажем вид частного решения в этом случае.

1. Если число не является корнем характеристического уравнения (5.2), то частное решение ищем в виде:

,

где A, B – неопределённые коэффициенты.

2. Если число является корнем характеристического уравнения (5.2), причём кратность этого корня, то запишем частное решение в виде:

,

где A, B – неопределённые коэффициенты.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Корнями характеристического уравнения для являются комплексно-сопряженные числа. В этом случае общее решение этого уравнения:.

Правая часть заданного в примере 3 уравнения имеет специальный вид: , где, а. Числоявляется корнем характеристического уравнения кратности, поэтому частное решение исходного уравнения примет вид:

.

Для определения A и B находим ,и подставляем в заданное уравнение:

.

Приводя подобные члены, приравнивая коэффициенты при и, получаем следующую систему:

,

отсюда .

Окончательно общее решение заданного уравнения имеет вид:

.

3. , где и– многочлены степени p и q соответственно, причём один из этих многочленов может равняться нулю. Укажем вид частного решения в этом общем случае.

1. Если число не является корнем характеристического уравнения (5.2), то вид частного решения будет следующим:

(7.2)

где – неопределённые коэффициенты, а.

2. Если число является корнем характеристического уравнения (5.2) кратности, то частное решение ЛНДУ примет вид:

, (7.3)

то есть частное решение вида (7.2) надо умножить на . В выражении (7.3)- многочлены с неопределёнными коэффициентами, причём их степень.

Пример 4. Указать вид частного решения для уравнения

.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: . Его корни:. Общее решение ЛОДУ имеет вид:

.

Правая часть заданного уравнения имеет специальный вид (случай 3): . Числоявляется корнем характеристического уравнения кратности. Коэффициент приявляется многочленом первой степени, а при– нулевой степени, поэтому степень многочленов с неопределёнными коэффициентами надо брать.

Итак, вид частного решения:

.

Коэффициенты A, B, C, D могут быть определены по методу неопределённых коэффициентов.

Замечание. Если правая часть уравнения (7.1) есть сумма двух функций , где каждая из функций,имеет специальный вид (случаи 1-3), то частное решениеподбирается в виде суммы:, гдеесть частное решение для уравнения с правой частью, аесть частное решение для уравнения с правой частью.

Аналогично находятся частные решения в случае, когда правая часть уравнения есть алгебраическая сумма конечного числа функций специального вида, рассмотренного в случаях 1-3.