4.4. Лос ду с постоянными коэффициентами

Линейная однородная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид

(4.1)

где – некоторые постоянные. Система (4.1) имеет фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций. Основным методом построения фундаментальной системы решений для системы (4.1) являетсяметод Эйлера. Согласно этому методу, решение ЛОС ДУ ищется в виде .

Продифференцируем обе функции по x и подставим в уравнения системы (4.1):

.

Сокращаем оба уравнения системы на :

(4.2)

Так как – некоторые постоянные числа, подлежащие определению, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, то определитель системы (4.2) должен быть равен нулю

(4.3)

Уравнение (4.3) называется характеристическим уравнением, а его корни – характеристическими числами системы (4.1). Каждому из корней характеристического уравнения соответствует хотя бы одно частное решение указанного выше вида. Различают три случая.

1. Оба корня характеристического уравнения вещественны и различны: ℝ, . Подставляемв одно из уравнений системы (4.2), например, в первое уравнение:Из него с точностью до константы определяем, откуда получаем первое решение ЛОС ДУ:

.

То же самое проделываем со вторым корнем характеристического уравнения и в результате получаем второе, линейно независимое на с первым, решение ЛОС ДУ:

.

Следовательно, согласно теореме 2 пункта 4.3. общим решением системы (4.1) будет следующее семейство функций:

,

.

2. Если – корень характеристического уравнения, то. Подставляемв одно из двух уравнений системы (4.2) и с точностью до постоянной получаем. Теперь составляем первое решение системы (4.1):

,

.

Отделив вещественную и мнимую части, получим два вещественных линейно независимых частных решения системы (4.1), соответствующих корню . Решения, соответствующие корню, будут линейно зависимы с решениями, соответствующими корню.

Итак, общее решение ЛОС ДУ в этом случае примет вид:

.

3. . В случае кратного корня характеристического уравнения необходимо представить общее решение системы уравнений (4.1) в следующем виде:

,

где – постоянные числа, причёмидолжны быть выражены черези.

Пример. Найти общее решение системы:

.

Решение: Будем искать решение в виде . Характеристическое уравнение:

.

Его корни: . Следовательно,

.

Продифференцируем y(x) и подставим в первое уравнение исходной системы:

.

Отсюда после сокращения на получаем

.

Приравняем в этом тождестве множители при одинаковых степенях x. В результате получим: .

Итак, общее решение заданной системы уравнений имеет вид:

где и– произвольные постоянные.