2.6. Структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (лнду) 2-го порядка

Теорема 1. Общее решение ЛНДУ 2-го порядка

(6.1)

представляется в виде суммы общего решения соответствующего однородного уравнения

(6.2)

и любого частного решения уравнения (6.1).

Доказательство. Докажем сначала, что будет решением уравнения (6.1). Для этого подставимв уравнение (6.1):. Это равенство является тождеством, так каки. Следовательно,есть решение уравнения (6.1).

Докажем теперь, что это решение является общим, то есть можно так выбрать входящие в него произвольные постоянные, что будут удовлетворяться любые начальные условия вида:

, . (6.3)

Согласно теореме о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения общее решение уравнения (6.2) можно представить в виде

,

где и– линейно независимые решения этого уравнения.

Таким образом: и, следовательно, начальные условия (6.3) можно записать в виде:

или

(6.4)

Произвольные постоянные иопределяются из этой системы линейных алгебраических уравнений однозначно при любых правых частях, так как определитель этой системыесть значение определителя Вронского для линейно независимых решений уравнения (6.2) при, а такой определитель, как было указано выше, отличен от нуля. Определив постоянныеииз системы уравнений (6.4) и подставив их в выражение, мы получим частное решение уравнения (6.1), удовлетворяющее заданным начальным условиям. Теорема доказана.

Теорема 2. Если – решение дифференциального уравнения

,

а – решение уравнения

,

то функция является решением уравнения

. (6.5)

Доказательство. Подставив функцию в уравнение (6.5), получим .

Это равенство является тождеством, так как

и .

Теорема доказана.