1.2. Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка

Обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка () имеет вид:или (если его удаётся разрешить относительно производной). Общее решение или общий интеграл уравнения 1-го порядка содержат одну произвольную постоянную. Единственное начальное условие для уравнения 1-го порядкапозволяет определить значение константы из общего решения или из общего интеграла. Таким образом можно найти частное решение, то есть задача Коши будет решена. Вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши является одним из центральных в общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для уравнения 1-го порядка, в частности, справедлива следующая теорема, принимаемая здесь без доказательства.

Теорема. Если в уравнении функцияи её частная производнаянепрерывны в некоторой областиD плоскости XOY и в этой области задана точка , то существует (и притом единственное) решение, удовлетворяющее как уравнению, так и начальному условию.

Геометрически общее решение уравнения 1-го порядка представляет собой семейство кривых на плоскости XOY, не имеющих общих точек и отличающихся друг от друга одним параметром – значением константы C. Эти кривые называются интегральными кривыми для данного уравнения. Интегральные кривые уравнения обладают очевидным геометрическим свойством: в каждой точкетангенс угла наклона касательной к кривой равен значению правой части уравнения в этой точке:. Другими словами, уравнениезадаёт в плоскостиXOY поле направлений касательных к интегральным кривым.

Замечание: Необходимо отметить, что к уравнению приводится уравнениеи так называемое уравнение в симметрической форме.