1.9. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение. Если в уравнении

(9.1)

левая часть есть полный дифференциал некоторой функции , то оно называетсяуравнением в полных дифференциалах. Это уравнение можно переписать в виде , следовательно, его общий интеграл есть.

Например, уравнение есть уравнение в полных дифференциалах, так как его можно переписать в виде . А значит, общий интеграл задаётся равенством .

Теорема. Предположим, что функции M и N определены и непрерывны в некоторой односвязной области D и имеют в ней непрерывные частные производные соответственно по y и по x. Тогда, для того чтобы уравнение (9.1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество

. (9.2)

Доказательство. Доказательство необходимости этого условия очевидно. Поэтому докажем достаточность условия (9.2).

Покажем, что может быть найдена такая функция , чтои.

Действительно, поскольку , то

, (9.3)

где ‒ произвольная дифференцируемая функция.

Продифференцируем равенство (9.3) по y:

.

Но , следовательно,

.

Положим и тогда.

Итак, построена функция , для которой, а.

Пример. Найти общий интеграл уравнения:

.

Решение. В данном случае Тогда

.

Следовательно, заданное дифференциальное уравнение 1-го порядка является уравнением в полных дифференциалах, то есть существует такая функция , частные производные которой соответственно поx и y равны и :

.

Проинтегрируем первое из двух соотношений по x:

,

.

Теперь продифференцируем поy и приравняем полученное в результате выражение частной производной :

.

Откуда и. Следовательно, общим интегралом заданного уравнения является:

.