1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным

Рассмотрим уравнение вида

. (5.1)

Если , то уравнение (5.1) с помощью подстановки, гдеи– новые переменные, аи– некоторые постоянные числа, определяемые из системы

,

приводится к однородному уравнению .

Если , то уравнение (5.1) принимает вид:

.

Сделав замену , получим уравнение, не содержащее независимую переменную.

Пример 1. Проинтегрировать уравнение

и выделить интегральную кривую, проходящую через точки:

а) (2; 2); б) .

Решение. Положим . Тогда

и

.

Сокращая на и собирая члены приdx и dz, получим

.

Разделим переменные: .

Интегрируя, получим

;

или

, где .

Заменяя z на , получим общий интеграл исходного уравнения в видеили, что то же самое,

. (5.2)

Равенство (5.2) определяет семейство окружностей

.

Центры указанных окружностей лежат на прямой и в начале координат касаются прямой. Функция , в свою очередь, является частным решением уравнения заданного дифференциального уравнения.

Определим, какие из найденных окружностей, удовлетворяют начальным условиям, то есть решим задачи Коши:

а) полагая в общем интеграле ,, находим , поэтому искомой кривой является окружность ;

б) ни одна из окружностей (5.2) не проходит через точку . Зато полупрямая проходит через указанную точку, а, значит ,соответствующая функция и даёт искомое решение.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Исходное уравнение является частным случаем уравнения (5.1).

Определитель в данном случае не равен нулю, поэтому сначала рассмотрим систему.

Решая указанную систему, получим, что . Выполняя в заданном уравнении замену, приходим к однородному уравнению

.

Интегрируя последнее уравнение после подстановки , находим. Возвращаясь к старым переменнымx и y по формулам , имеем.