4.5. Линейные неоднородные системы дифференциальных уравнений (лнс ду)

Определение 1. Линейной неоднородной системой дифференциальных уравнений (ЛНС ДУ) называется система уравнений следующего вида

(5.1)

где – заданные непрерывные на интервалефункции.

Теорема 1. Общее решение ЛНС ДУ (5.1) представляет собой сумму общего решения соответствующей ЛОС ДУ (3.1) и какого-либо частного решения системы (5.1):

(5.2)

Доказательство.

1. Прежде всего докажем, что система уравнений (5.2) определяет решение ЛНС ДУ (5.1). Для этого, подставим выражение (5.2) в первое уравнение системы (5.1) и покажем, что в результате получится тождество.

,

то есть имеем .

Аналогичный вывод имеет место и для второго уравнения системы (5.1).

2. Во второй части доказательства докажем, что выражения (5.2) дают общее решение ЛНС. Для этого надо показать, что всегда найдутся числа такие, что выделенное из семейства (5.2) частное решение будет удовлетворять начальным условиям

(5.3)

Согласно теореме 2 пункта 4.3. выражения (5.2) можно переписать в виде:

(5.4)

где иобразуют фундаментальную систему решений ЛОС ДУ. Подставим в систему (5.4) начальные условия:

или

(5.5)

Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского

,

но согласно теореме 1 пункта 4.3. , следовательно, система уравнений (5.5) имеет решение и притом единственное:.

Теорема доказана.