4.2. Метод исключения

Продифференцируем, например, первое уравнение системы уравнений (1.2) по независимой переменной x:

.

Вместо системы (1.2) запишем систему уравнений:

(2.1)

Из первого уравнения системы (2.1) следует, что . Подставим эту функцию во второе уравнение системы (2.1):

.

Итак, исключив из системы функцию z приходим к одному уравнению 2-го порядка, решая которое, получаем: .

Теперь продифференцируем найденное выражение по x и подставим в функцию , получим.

В результате заключаем, что решение примет вид:

(2.2)

Определение 1. Общим решением системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка является совокупность функций (2.2), непрерывно дифференцируемых на некотором интервале , которые при различных допустимых значениях произвольных постоянных удовлетворяют обоим уравнениям системы уравнений (1.2). При этом в области, в которой выполнены условия теоремы существования и единственности, можно получить решение любой задачи Коши.