4.1. Нормальные системы

Определение 1. Нормальная система обыкновенных дифференциальных уравнений имеет следующий вид:

(1.1)

где , – неизвестные функции от независимой переменнойx, подлежащие определению; ,– известные функции от, заданные и непрерывные в некоторой области. Числоn называется порядком системы (1.1). В дальнейшем ограничимся рассмотрением систем второго порядка ().

Определение 2. Пусть дана нормальная система уравнений

(1.2)

где и– заданные непрерывные в некоторой области функции. Пара функций, определенных на интервале, имеющих непрерывные производные и удовлетворяющих наобоим уравнениям системы (1.2), называется еёрешением.

Задача нахождения решения , удовлетворяющего начальным условиям, где– заданные числа (начальные данные), называетсязадачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Пусть дана система уравнений (1.2) и пусть в некоторой области D(x, y, z) функции инепрерывны и имеют непрерывные частные производные поy, z. Пусть точка . Тогда существуют интервали определенные на нем непрерывно дифференцируемые функции, удовлетворяющие системе уравнений (1.2) и начальным условиям, причём эти функции определяются однозначно.