1.6. Обобщенное однородное уравнение

Определение. Уравнение называетсяобобщённым однородным, если удаётся подобрать такое число k, что левая часть этого уравнения становится однородной функцией некоторой степени m относительно x, y, dx и dy при условии, что x считается величиной первого измерения, y – k-го измерения, dx – нулевого измерения и dy – ()-го измерения.

Например, таковым будет уравнение

. (6.1)

Действительно, при сделанном предположении относительно измерений x, y, dx и dy члены левой части иdy будут иметь соответственно измерения (–2), (2k) и (k–1). Приравнивая эти величины, получаем условие, которому должно удовлетворять искомое число k:

.

Это условие выполняется при (при такомk все члены левой части рассматриваемого уравнения будут иметь измерение (–2)). Следовательно, уравнение (6.1) является обобщённым однородным.

Обобщенное однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , гдеz – новая неизвестная функция. Проинтегрируем уравнение (6.1) описанным методом. Так как , то, а следовательно уравнение (6.1) примет вид:

.

Решая полученное уравнение путем разделения переменных, находим , откуда. Последнее равенство определяет общее решение уравнения (6.1).