2.4. Структура общего решения лоду 2-го порядка

Теорема. Если и– линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения (2.3), то их линейная комбинация, гдеи – произвольные постоянные, является общим решением этого уравнения.

В данном случае говорят, что функции иобразуют фундаментальную систему решений ЛОДУ (2.3).

Доказательство. Первая часть утверждения, касающаяся того, что есть решение уравнения (2.3), следует из теоремы о свойствах решений ЛОДУ 2-го порядка. Остаётся показать, что решениебудетобщим, то есть надо показать, что при любых начальных условиях ,можно выбрать произвольные постоянныеи так, чтобы удовлетворить этим условиям. Запишем начальные условия в виде:

Постоянные и из этой системы линейных алгебраических уравнений определяются однозначно, так как определитель этой системы есть значение определителя Вронского для линейно независимых решений ЛОДУ при:

,

а такой определитель, как было показано в предыдущем параграфе, отличен от нуля. Теорема доказана.

Пример. Доказать, что функция , гдеи – произвольные постоянные, является общим решением ЛОДУ

Решение. Легко убедиться непосредственной подстановкой, что функции и удовлетворяют данному уравнению. Эти функции являются линейно независимыми, так как. Поэтому согласно теореме о структуре общего решения ЛОДУ 2-го порядка функция является общим решением данного уравнения.