1.3. Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

(3.1)

или уравнение вида

(3.2)

Чтобы в уравнении (3.1) разделить переменные, то есть привести это уравнение к так называемому уравнению с разделёнными переменными, необходимо множители, содержащие переменную x перенести в одну сторону уравнения, а множители, содержащие переменную y, – в другую, а именно:

Остается проверить, не потеряны ли решения при делении на выражения, зависящие от переменных. Для этого необходимо решить уравнение . Если оно имеет вещественное решение ,то тоже будет решением уравнения (3.1).

Уравнение (3.2) приводится к уравнению с разделёнными переменными делением на произведение :

,

что позволяет получить общий интеграл уравнения (3.2):

(3.3)

Функции (3.3), определяющие интегральные кривые, будут дополнены решениями , если такие решения существуют.

Пример. Решить уравнение: .

Решение. Разделяем переменные:

; .

Интегрируя, получаем

.

Из уравнений инаходим,,. Непосредственной подстановкой этих функций в исходное уравнение убеждаемся, что эти решения – частные решения.