3.1. Однородное уравнение

Определение. Линейным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

. (1.1)

Если при всех рассматриваемых значениях x функция равна нулю, то это уравнение называетсяоднородным, в противном случае – неоднородным.

Предполагаем, что коэффициенты и свободный членопределены и непрерывны в интервале. Тогда уравнение (1.1) имеет единственное решение, определенное во всем интервалеи удовлетворяющее начальным условиям:, причём начальные данныеможно задавать произвольно, анужно брать из интервала.

Заметим, что линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) всегда имеет нулевое решение .

Для построения общего решения ЛОДУ достаточно знать n линейно независимых в интервале частных решений, то есть таких решений, для которых тождество

,

где – постоянные числа, может выполняться только при. Такая система решений называетсяфундаментальной. Известно, что для того чтобы система решений ЛОДУ была фундаментальной, необходимо и достаточно, чтобы её определитель Вронского

был отличен от нуля хотя бы в одной точке из интервала . В действительности, в этом случае определитель Вронского отличен от нуля во всех точках интервала .

Если найдена фундаментальная система решений ЛОДУ, то формула

, (1.2)

где – произвольные постоянные, даёт общее решение этого уравнения в области,,, …,.