Скалярное произведение векторов

Определение. Скалярным произведением векторов иназывается число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

= cos

Свойства скалярного произведения:

1. = ²;

2. = 0, если или= 0 или= 0.

3. = ;

4. (+) = + ;

5. (m) = (m) = m(); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

= x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

.

Пример. Найти (5+ 3)(2-), если

10- 5+ 6- 3= 10,

т.к. .

Пример. Найти угол между векторами и, если

.

Т.е. = (1, 2, 3),= (6, 4, -2)

= 6 + 8 – 6 = 8:

.

cos =

Пример. Найти скалярное произведение (3- 2)(5- 6), если

15- 18- 10+ 12= 15

+ 1236 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами и, если

.

Т.е. = (3, 4, 5),= (4, 5, -3)

= 12 + 20 - 15 =17 :

.

cos =

Пример. При каком m векторы иперпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

Пример. Найти скалярное произведение векторов и, если

()() =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.