Матрицы линейных преобразований

Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом ,,…,задано линейное преобразование А. Тогда векторы А,А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

A= a₁₁+ a₂₁+…+ a_n1

A= a₁₂+ a₂₂+…+ a_n2

……………………………….

A=a_n1+a_n2+…+a_nn

Тогда матрица А = называетсяматрицей линейного преобразования А.

Если в пространстве L взять вектор = x₁+x₂+…+x_n, тоA L.

, где

……………………………..

Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,.

В матричном виде:

, А,

Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x = x + y

y = y + z

z = z + x

x = 1x + 1y + 0z

y = 0x + 1y + 1z

z = 1x + 0y + 1z

A =

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в векторлинейным преобразованием с матрицей А, а векторв векторлинейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему векторв вектор(оно называетсяпроизведением составляющих преобразований).

С = ВА

Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектори линейное преобразование В, переводящее векторв вектор. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего векторв вектор.

С = ВА

Т.е.

Примечание: Если А= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.