Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования

Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число , что выполняется равенство:

A.

При этом число  называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе ,,…,имеет матрицу А =, то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни₁, ₂, … ,_n уравнения:

Это уравнение называется характеристическим уравнением, а его левая часть- характеристическим многочленом линейного преобразования А.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

² - 8 + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: ₁ = 7; ₂ = 1;

Для корня ₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; 0,5t) где t- параметр.

Для корня ₂ = 1:

Из системы получается зависимость: x₁ + x₂ = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: (t; -t) где t- параметр.

Полученные собственные векторы можно записать в виде:

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

Составим характеристическое уравнение:

(1 - )((5 - )(1 - ) - 1) - (1 -  - 3) + 3(1 - 15 + 3) = 0

(1 - )(5 - 5 -  + ² - 1) + 2 +  - 42 + 9 = 0

(1 - )(4 - 6 + ²) + 10 - 40 = 0

4 - 6 + ² - 4 + 6² - ³ + 10 - 40 = 0

-³ + 7² – 36 = 0

-³ + 9² - 2² – 36 = 0

-²( + 2) + 9(² – 4) = 0

( + 2)(-² + 9 - 18) = 0

Собственные значения: ₁ = -2; ₂ = 3; ₃ = 6;

1) Для ₁ = -2:

Если принять х₁ = 1, то  х₂ = 0; x₃ = -1;

Собственные векторы:

2) Для ₂ = 3:

Если принять х₁ = 1, то  х₂ = -1; x₃ = 1;

Собственные векторы:

3) Для ₃ = 6:

Если принять х₁ = 1, то  х₂ = 2; x₃ = 1;

Собственные векторы: