5.Необхідна ознака збіжності ряду.

Якщо ряд збігається, то границя його загального члену при n→∞ дорівнює нулю, тобто lim(n→∞)a_n=0. За умови збіжності ряду (∞∑n=1) a_n існує скінчена границя часткових сум lim(n→∞)S_n= lim(n→∞)S_n-1 = S. Тоді виразимо a_n через суму його n та (n-1) членів S_n= a₁+ a₂+...+ a _n , S_{n -1}= a₁+ a₂+...+ a_{n -1}, тоді a _n = S_n - S_{n -1.}. Остаточно маємо lim(n→∞)a_n = lim(n→∞) (S_n - S_{n -1}) = S – S = 0. Якщо lim (n→∞) a_n ≠ 0 або не існує, то ряд (∞∑n=1) a_n розбіжний.

16 .Білет

Питання 1

Мішаний добуток. Властивості мішаного добутку.

Мішаним добутком векторів а,в,с називається скалярний добуток вектора а*b на вектор с , тобто (аb)c.

Властивості мішаного добутку:

• (a*b)c=a(b*c)=abc, тобто в мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутку можна міняти місцями.

• При перестановці двох векторів мішаний добуток змінює свій знак

• Мішаний добуток не зміниться,якщо вектори змінювати по колу

• Мішаний добуток = о, якщо хоча б один з них нульовий

• Модуль мішаного добутку векторів авс дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах

• Мішаний добуток векторів обчислюється за формулою abc=

Питання 2

Еквівалентні нескінченно малі величини.

• Нескінченно малі   та   вважаються еквівалентними (в знаках  ), якщо їх різниця   є величиною вищого порядку, ніж кожна з нескінченно малих   та  :

 та 

Розглянемо дві еквівалентні нескітченно малі   та  , так що  , де  . Якщо наближено припустити  , то - в міру зменшення обох величин - прагне до нуля не тільки абсолютна похибка цієї заміни, позначена як  , але і відносна похибка, що дорівнює  . Іншими словами, при достатньо малих значеннях   та   можна зі скільки завгодно великою відносною точністю взяти, що  . На цьому базується, при наближених викладках, заміна складних нескінченно малих еквівалентними їм простими.

Друге означення еквівалентності (рівносильне першому):

Для того, щоб дві нескінченно малі   та   були еквівалентні, необхідно та достатньо, щоб було 

Питання 3

Лінії рівня функції двох змінних

Означення. Лінією рівня функції від двох змінних z=f(x,y) називається

множина точок площин OXY таких, що f(x,y)=const=C.

Якщо змінна величина u залежить від n незалежних змінних , , ..., , то її називають функцією кількох змінних і позначають: u = f ( , , ..., ) або u = f(M), M( , , ..., ,) є Еn, , ,..., , – незалежні змінні або аргументи є рівноправними.

Криві лінії, що лежать у площині ХОУ і мають рівняння f(x;y) = c (c – const), називаються лініями рівня функції z = f (x;y).

Питання 4 Інтегрування тригонометричних функцій.

Інтегрування тригонометричних функцій.

а) Інтеграли вигляду  .

Якщо принаймні одне з чисел m або n непарне додатне ціле число, то відщеплюючи від непарного степеня один множник і виражаючи за допомогою формули  парний степінь, який залишився, через другу функцію приходимо до табличного інтеграла.

б) Інтеграли вигляду  ,  , .

Для обчислення інтегралів даного вигляду застосовують тригонометричні формули:

в) Інтеграли вигляду

 , де R - раціональна функція двох змінних, зводяться до інтегралів від раціональної функції нового аргумента t підстановкою  . При цьому використовуються формули