3. . Екстремум ф-ції, необхідна та достатня умови існування екстремуму.

Максимум та мінімум функції кількох змінних називають екстремумами функції, а точку , де ф-ція має екстремум називають точкою екстремуму ф-ції.

Необхідна умова існування екстремуму.

Для того, щоб точка була точкою екстремуму ф-ції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна ф-ції в цій точці була рівна нулю або не існувала в цій точці .

Достатня умова існування екстремуму.

Нехай f (x) диференційована в околі критичної точки , за винятком, можливо, самої точки , в якій ф-ція f (x) є неперервною . Тоді:

1. Якщо при переході через точку похідна змінює знак з мінуса на плюс, то в точці ф-ція має мінімум.

2. Якщо при переході через точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то в точці ф-ція має максимум.

3. Якщо при переході через точку похідна не змінює знак, то точка не є точкою екстремума ф-ції.

4. Знаходження невизначеного інтеграла методом заміни змінної.

Для знаходження інтеграла ∫f(x)dx зробити підстановку х= φ(t),dx= φ ‘dt,тоді ∫f(x)dx= ∫f(φ(t))∙ (φ’(t)dt.

Алгоритм методу заміни змінної:

1)Частину підінтегральної ф-ції замінити на нову змінну.2) Знайти диференціал від обох частин заміни.3)Весь підінтегральний вираз подати через нову змінну, щоб одержати табличний інтеграл.4)Знайти одержаний інтеграл.5)Виконати обернену заміну.

5. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Диференціальне рівняння другого порядку називають лінійним однорідним зі сталими коефіцієнтами, якщо воно має вигляд де a, b, c – сталі числа.

Для знаходження загального розв’язку такого рівняння слід:

1. скласти характеристичне рівняння шляхом заміни на на на 1, тобто одержати алгебраїчне рівняння відносно k.

2. розв’язати характеристичне рівняння, використовуючи формулу

3. проаналізувати корені характеристичного рівняння, які можуть бути

а) дійсними та різними, тобто

б) дійсними та рівними, тобто

в) комплексно спряженими, тобто , де , ;

4. в залежності від значень коренів характеристичного рівняння записати загальний розв’язок заданого диф.рівняння

У випадку а):

У випадку b):

У випадку c):

11БІЛЕТ

1.Теорема Кронекера-Капеллі. Алгоритм розв’язання СЛАР

Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими. Складаємо основну матрицю А та розширену матрицю Ᾱ цієї системи.

Для того,щоб система лінійних рівнянь була сумісною,необхідно і достатньо,щоб ранг її основної матриці дорівнював рангу розширеної матриці.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює числу невідомих системи,то система має один розв’язок.

Якщо ранг основної матриці дорівнює рану розширеної матриці,але менше числа невідомих систем,то система має безліч розв’язків.

Алгоритм:

1.Знайти ранг основної і розширеної матриць системи.

2.Якщо r(A)=r(A₁)=r,то потрібно взяти r рівнянь,із коефіцієнтів яких складаємо базисний мінор,інші рів-ня відкинути.

3.Базині невідомі залишають зліва,а інші невідомі переносять у праву частину рів-ня.

4.Виразити базисні невідомі через вільні. Отримаємо загальний розв’язок.

5.Якщо надати вільним значення нуль,то такий розв’язок називають базисним

2. Основні властивості границі послідовності

1. Теорема Вейєрштасса. Якщо послідовність монотонна й обмежена, то вона має границю.

2. Якщо послідовність збіжна, то вона має тільки одну границю.

3. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

4. Якщо послідовності { } і { } збіжні , то

)= , )= ,

)= , якщо .

3. Опуклість та вгнутість графіка функції. Необхідна і достатня умови опуклості (вгнутості) графіка функції.

Крива у= f(x) наз. Опуклою (вгнутою) на проміжку,якщо всі точки кривої лежать нижче(вище)дотичної на цьому проміжку.

Необхідні умови опуклості (вгнутості) кривої у=f(x).

Якщо на відрізку [a;b] крива у=f(x) є опуклою(вгнутою),то f”(x) для всіх точок є [a;b].

Достатні умови опуклості (вгнутості) кривої у=f(x).

Якщо f”(x) на відрізку [a;b], то крива у=f(x) є опуклою(вгнутою) на цьому відрізку.

4.Знаходження невизначеного інтеграла методом інтегрування частинами

Цей метод застосовується тоді, коли під інтегралом є добуток функцій, причому хоча би одна з них є трансцендентною (не степеневою).Нехай u та v деякі функції х, тобто u = u(x),v = v(x).Розглянемо диференціал добутку цих функцій. d(uv) = udv + vdu Інтегруючи обидві частини рівності, одержимо.∫d(uv)= ∫udv+∫vdu. Звідси, враховуючи властивість невизначеного інтеграла, маємо uv=∫udv+∫vdu. Отже, одержали формулу ∫udv=uv-∫vdu, яку називають формулою інтегрування частинами. Ця формула дозволяє знаходження інтеграла ∫udv звести до знаходження інтеграла∫udu . При вдалому обранні u то dv інтеграл може бути табличним або простішим ніж заданий інтеграл ∫udv.