6.2.1. Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характери­зуемая показательным распределением как длительностей интерва­лов между поступлениями требований, так и длительностей обслу­живания. При этом плотность распределения длительностей интер­валов между поступлениями требований имеет вид

, (6.1)

где λ — интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

(6.2)

где μ — интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживаний простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 6.1), у которого имеются два состояния:

S₀ — канал свободен (ожидание);

S₁ — канал занят (идет обслуживание заявки).

λ

μ

Рис. 6.1 - Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний:

P₀(t) - вероятность состояния «канал свободен»;

P₁(t) — вероятность состояния «канал занят».

По размеченному графу состояний (рис. 6.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

(6.3)

Система линейных дифференциальных уравнений (6.3) имеет решение с учетом нормировочного условия P₀(t) + P₁(t) = 1. Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:

(6.4)

P₁(t)=1-P₀(t). (6.5)

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P₀(t) есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, P₀ — вероятность того, что в момент t канал сво­боден и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, следо­вательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P₀(t)=q.

По истечении большого интервала времени (при t → ∞) дости­гается стационарный (установившийся) режим

. (6.6)

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

. (6.7)

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

. (6.8)

Данная величина Р_отк может быть интерпретирована как средняя доля не обслуженных заявок среди поданных.

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание — простейший поток с интенсивно­стью λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в сред­нем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных за­явок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Поток обслужива­ний является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т.е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте. Наконец, источник, порождающий за­явки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно боль­шую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 6.2

λ λ λ λ λ λ

μ μ μ μ μ μ

Рис. 6.2 - Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S₀ — «канал свободен»;

S₁ — «канал занят» (очереди нет);

S₂— «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

S_n — «канал занят» (п — 1 заявок стоит в очереди);

S_N — «канал занят» (N — 1 заявок стоит в очереди).

Условие стационарности системы выполняется при < 1 .

Решение для модели СМО имеет вид

(6.9)

. (6.10)

n – номер состояния.

Следует отметить, что выполнение условия стационарности < 1 для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N — 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N — 1):

вероятность отказа в обслуживании заявки:

(6.11)

относительная пропускная способность системы:

(6.12)

абсолютная пропускная способность:

A=q·λ; (6.13)

среднее число находящихся в системе заявок:

(6.14)

среднее время пребывания заявки в системе:

(6.15)

средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

W_q=W_S -1/μ; (6.16)

среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

L_q = λ(1-P_N)W_q (6.17)

Рассмотрим одноканальную СМО с ожида­нием без ограничения на вместимость блока ожидания (т. е. N → ∞). Остальные условия функционирования СМО остаются без изме­нений.

Стационарный режим функционирования данной СМО суще­ствует при t → ∞ для любого п = 0, 1, 2, ... и когда λ < μ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t → ∞ для любого n = 0, 1,2, ..., имеет вид

(6.18)

Решение данной системы уравнений имеет вид

P_n=(1-ρ) ρⁿ, n=0,1,2 …, (6.19)

где ρ = λ/μ <1

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без огра­ничения на длину очереди, следующие:

• среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

(6.20)

• средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

(6.21)

• среднее число клиентов в очереди на обслуживании:

; (6.22)

• средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

(6.23)