13. Теорема Птолемея.

Для того, чтобы в окружность вписать выпуклый четырёхугольник необходимо и достаточно, чтобы произведение его диагоналей равнялось сумме произведения его противоположных сторон.

Выполним дополнительные построения (см. рисунок) , проведём отрезок BK так, чтобы угол ABK равнялся углу DBC. Заметим, что угол BAC равен углу BDC. Следовательно, треугольник ABK подобен треугольнику BDC. Тогда AB:BD=AK:DC (*). Далее угол BKC= углу BAD (D = BAK + ABK , но BAK = BDC и  = DBC, значит

D = ½* (BCD) = BAD); угол ADB=BCA. Таким образом треугольник ABD подобен треугольнику BKC. Тогда KC:a=c:f (**). Из (*) и (**) получаем e= (d:f)*b+(a*c)/f. Из этого соотношения получаем утверждение теоремы Птолемея: e*f=d*b+a*c