Алгебраические неравенства.

Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax + b > 0, ax + b < 0 (ax + b>=0, ax + b<=0)

Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0,

ax² + bx + c >= 0, ax² + bx + c <= 0, где a, b, c – некоторые действительные числа и а ≠ 0.

Квадратное неравенство ax² + bx + c > 0 в зависимости от значения своих коэффициентов a, b и c имеет решения:

при а > 0 и D = b² – 4ac ≠0 , то х принадлежит интервалу

при а > 0 и D < 0 x – любое действительное число;

при а < 0 и D ≠0 x(( –х₁ ; ;х₁ ) );

при а < 0 и D < 0 x = ( (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax² + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (–1).

Метод интервалов.(основной метод)

Пусть Р_n(x) ­– многочлен n–й степени с действительными коэффициентами, а c₁, c₂, … , c_i ( все действительные корни многочлена с кратностями k₁, k₂, … , k_i соответственно, причем с₁ > c₂ > …> c_i. Многочлен Pn(x) можно представить в виде Рn(x) = (x – c₁) k1(x – c₂) k₂ ( (x – c_i)k_i Qm(x), (3) где многочлен Qm(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех х(R. Положим для определенности, что Qm(x) > 0. Тогда при х > c1 все сомножители в разложении (3) положительны и Рn(х) > 0. Если с1 ( корень нечетной кратности (k1 ( нечетное), то при х((с2; с1) все сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и Рn(х)<0. В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) меняет знак при переходе через корень с1. Если же с1 ( корень четной кратности (k1 (четное), то все сомножители (в том числе и первый) при х((с2; с1) положительны и, следовательно, Рn(х) > 0 при х((c2; с1). В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) не меняет знак при переходе через корень с1.

Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при переходе через корень с2 многочлен Рn(х) меняет знак, если k2 (нечетное), и не меняет знака, если k2 (четное). Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения Рn(х) > 0, (4) достаточно знать все действительные корни многочлена Рn(х) их кратности и знак многочлена Рn(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.

Дробно–рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства Pn(x)/Qn(x) > 0 (5) где Рn(х) и Qm(х) (многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) ( 0), получим неравенство Рn(х) ( Qm(x) > 0, эквивалентное неравенству (5).

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

Неравенства с одной или двумя переменными можно решать графически.

Неравенство с одной переменой можно записать так: f(x) > g(x), где f(x) и g(x) – выражения, содержащие переменную.

Построим в одной системе координат графики функций y = f(x) и у = g(x).

Решение неравенства есть множество значений переменой х, при которых график функций у=g(x), так как f(x)>g(x).Это показано на рисунках 1 и 2.

Решение неравенства с двумя переменными f(x,y)>0 есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Рассмотрим на примерах решение некоторых неравенств с двумя переменными.

Пример 1. Решить графически неравенство x + у > 0. Решение. Запишем неравенство в виде у> –х. Построим прямую у= –х. Координаты точек плоскости, которые лежат выше этой прямой, есть решение неравенства ( на рисунке 3 – заштрихованная область).