10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств

Основным методом решения иррационального неравенства является сведение его к системе рациональных неравенств или совокупности таких систем. При этом чаще всего используются следующие равносильности (в нижеследующих формула звездочка у неравенства означает, что данное неравенство заменяется на нестрогое, если исходное неравенство является нестрогим):

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) .

Замечание. При решении иррациональных неравенств, как правило, приходится возводить обе части неравенства в натуральную степень. В этом случае необходимо следить за тем, чтобы преобразования были равносильными, лишь тогда можно избежать потери или приобретения лишних решений.

Неравенства с тремя квадратными радикалами равносильными преобразованиями сводятся к одному из типов неравенств с единственным радикалом. Например, одна из схем решения неравенства

такова. Сначала находим область определения неравенства из системы Затем для всех переносом члена с «минусом» в другую часть неравенства обеспечивается неотрицательность обеих частей, которые затем возводятся в квадрат. В результате получается неравенство с одним радикалом:

,

которое решается по известной (приведенной выше схеме).