14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств

Логарифмическим неравенством называется такое неравенство, в котором неизвестная величина содержится или под знаком логарифма, или в его основании.

Особенностью решения логарифмических неравенств является учет ОДЗ входящих в него логарифмов. В отличие от логарифмических уравнений, условия, определяющие ОДЗ, целесообразно записывать вместе с решением в одной системе, так как в ходе решения некоторые условия на ОДЗ учитываются сразу. Необходимо внимательно следить за величиной основания логарифма, так как при положительном основании логарифма, которое меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный.

Типы неравенств и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной.

I тип: неравенство вида: (5) где a > 0.

1. Если 0 < a < 1, то неравенство (5) равносильно системе (6)

2. Если a > 1, то неравенство (5) равносильно системе

Заметим, что в этом случае первое неравенство системы (6) можно не решать, так как во втором неравенстве (7)

Решение неравенства (7) сводится к решению совокупности двух систем:

Неравенство f(x) > 0 во второй системе можно не решать, так как оно справедливо при выполнении двух других неравенств этой системы.

II тип: неравенство вида: (8)

1. Если 0 < a < 1, то неравенство (8) равносильно системе(9)

Неравенство g(x) > 0 в системе (9) можно не решать, так как оно выполняется при условии выполнения двух других неравенств этой системы.

2. Если то неравенство (8) равносильно системе (10)

Неравенство в системе (10) можно не решать. (11)

Поскольку в основании содержится переменная величина, то в общем случае решение неравенства (11) зависит от величины основания по сравнению с числом 1. Поэтому решаем совокупность двух систем:

III тип: неравенство вида (12), где F – некоторое выражение относительно

Необходимо заменить и решить неравенство F(y) > 0. Полученные в качестве решения последнего неравенства промежутки записывают в виде неравенств относительно y, а затем возвращаются к старой переменной.

Аналогично решают неравенства I – III типов, в которых вместо знака

> использованы знаки , <, .