Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.

   Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

                                           рис.6. рис.7.

                                          рис.8.

Теорема. Пусть плоскость  задана общим уравнением  , а прямая L задана каноническими уравнениями или параметрическими уравнениями ,   , в которых  – координаты нормального вектора плоскости ,  – координаты произвольной фиксированной точки прямой L,   – координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость  в точке, координаты которой  можно найти из системы уравнений

             ;           (7)

2) если  и , то прямая лежит на плоскости;

3) если  и , то прямая параллельна плоскости.

   Доказательство. Условие  говорит о том, что векторы  и  не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.

   Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка  – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

   Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Теорема доказана.

Определение 1. Угол между прямой лежащей в одной плоскости с другой плоскостью есть угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. Теорема 1. Синус угла между прямой лежащей в одной плоскости с другой плоскостью равен произведению синуса угла между этими плоскостями на синус угла между прямой и ребром двугранного угла, о6разованного этими плоскостями.

Доказательство. Пусть даны плоскости  и  и прямая их пересечения с. А – точка, лежащая в плоскости  (и не лежащая в плоскости ). Точка О – основание перпендикуляра, опущенного из точки А на плоскость , В – произвольная точка на прямой с. Из точки А опустим перпендикуляр на прямую с получим точку С. Соединим точки С и О. СО перпендикулярна прямой с по теореме о трех перпендикулярах (АС – наклонная, перпендикулярная прямой в плоскости с). Это тождество также называют формулой связи синусов. Обычно говорят просто - связь синусов (используя связь синусов, получаем...).

5. Содержание

   • 1. Рациональные уравнения и методы их решения
   • Методы их решения
   • 1. Использование области определения уравнения.
   • 2. Разложение на множители.
   • 3. Замена переменной.
   • Функциональные методы
   • 4. Использование ограниченности функций.
   • 5. Использование монотонности функций.
   • 2. Рациональные неравенства и методы их решения
   • Алгебраические неравенства.
   • 3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
   • Основные свойства модуля:
   • I тип уравнений
   • II тип уравнений
   • III тип уравнений
   • IV тип уравнений
   • V тип уравнений
   • VI тип уравнений
   • 4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
   • 1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
   • 2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
   • 3 Способ: Использование определение модуля числа.
   • 4 Способ: Решение неравенства на интервалах
   • 5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
   • Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
   • Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
   • 6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
   • 7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
   • Системы и совокупности уравнений
   • 8. Системы и совокупности неравенств
   • Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
   • 9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
   • 10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
   • 11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
   • 12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
   • 13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
   • 14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
   • 15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
   • 16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
   • 17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
   • 18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
   • 19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
   • 20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
   • 21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
   • 22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
   • 1. Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью
   • Свойства хорд
   • 2. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
   • 3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
   • 4. Прямая Эйлера
   • 5. Окружность Эйлера
   • 6. Вневписанная окружность.
   • 7. Центроид треугольника
   • 8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
   • 9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
   • 10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
   • 11. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
   • 12. Теорема Пифагора для четырехугольников.
   • 13. Теорема Птолемея.
   • 14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.
   • 15. Метод площадей.
   • 1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
   • 2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
   • 3.Методы построения сечений многогранников.
   • 4.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
   • Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
   • Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.
   • Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Многогранный угол. Трехгранный угол. Их свойства.