3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
Окружностью называется фигура, состоящая из множества точек плоскости, расположенных на одинаковом расстоянии от некоторой точки О этой же плоскости, называемой центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.
Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного треугольника. Δ AOB – равнобедренный ( AO = OB как радиусы). Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника. Ч.т.д.
Докозательство 2способ
| Пусть a и b – серединные перпендикуляры к сторонам AC и BC треугольника ABC, а точка O – точка их пересечения. Из свойств серединного перпендикуляра AO = OC = OB. Следовательно, точка O лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB. Таким образом, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Кроме того, точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от вершин треугольника. Отсюда, по определению, центром описанной окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Теорема доказана. Ч.т.д. |
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного— вне треугольника, у прямоугольного— на середине гипотенузы.
| Остроугольный | Тупоугольный | Прямоугольный |
3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника.
Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
Радиус описанной окружности может быть найден по формулам
Где: a,b,c — стороны треугольника, α — угол, лежащий против стороны a, S — площадь треугольника.
- 1. Рациональные уравнения и методы их решения
- Методы их решения
- 1. Использование области определения уравнения.
- 2. Разложение на множители.
- 3. Замена переменной.
- Функциональные методы
- 4. Использование ограниченности функций.
- 5. Использование монотонности функций.
- 2. Рациональные неравенства и методы их решения
- Алгебраические неравенства.
- 3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- Основные свойства модуля:
- I тип уравнений
- II тип уравнений
- III тип уравнений
- IV тип уравнений
- V тип уравнений
- VI тип уравнений
- 4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- 1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- 2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
- 3 Способ: Использование определение модуля числа.
- 4 Способ: Решение неравенства на интервалах
- 5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- 6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- 7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- Системы и совокупности уравнений
- 8. Системы и совокупности неравенств
- Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- 9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- 10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- 11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- 12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- 13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- 14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- 15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- 16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- 17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- 18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- 19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- 20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- 21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
- 22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- 1. Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью
- Свойства хорд
- 2. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- 3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- 4. Прямая Эйлера
- 5. Окружность Эйлера
- 6. Вневписанная окружность.
- 7. Центроид треугольника
- 8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- 9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- 10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- 11. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- 12. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- 13. Теорема Птолемея.
- 14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.
- 15. Метод площадей.
- 1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- 2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- 3.Методы построения сечений многогранников.
- 4.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.
- Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Многогранный угол. Трехгранный угол. Их свойства.