logo
PRZ_-_shpory

5. Окружность Эйлера

Теорема 6.14. В любом треугольнике основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершина­ми, лежат на одной окружности.

Окружность носит название окружности девяти точек или окружно­сти Эйлера.

Дано: АВС, А1 — середина ВС, В1 — середина АС, С1 — середина АВ, ВН2 перпендик. АС, Н2€АС, АН1перпенд.ВС, H1,€ВС, СН3перп.АВ, H3 €АВ, АH1пересеч. ВH2 и с СH3 = Н , А2 — середина АH, В2 — середина ВH, С2 — середина СH (рис. 6.11). Доказать: А1, В1, С1, H1, H2, H3, A2, В2, С2 — лежат на окружности.

Доказательство.

1) Рассмотрим четырехугольник A2C1A1C2. С1А1 — средняя линия ∆АВС .Значит, С1А1 || АС и С1A1 = 1/2АС ;

А2С2 — средняя линия ∆АНС .Значит, С2A2|| АС и С2A2 = 1/2 АС . Следовательно, А2С1А1С2 —параллелограмм.

  1. C1,A2 — средняя линия ∆АВH . Значит, С1A2 || ВH . Следовательно, С1A2 1 A2C2 , так как А2С2|| АС.

  2. Таким образом, С1А2С2А1 — прямоугольник. Тогда существует ок­ружность, диаметром которой является отрезок С1С2 (т. е. точка Е— середина С1С2 — ее центр), которой принадлежат точки А2, С1, А1, С2.

  3. С1В2С2В1— прямоугольник, так как:

а) С1В1 — средняя линия ∆АВС . Значит, С1В1 || ВС и С1В1 = 1/2ВС.

б) С2В2 — средняя линия ∆ВHС . Значит, С2В2|| С В и С2В2 = 1/2СВ .

в) С1В2перп.В2С2, так как С1В2|| АH и В2С2|| АН .

5) С1С2 — диаметр окружности (центр окружности Е), описанной около прямоугольника В1С1В2С2. Таким образом, точки С, В2, Д, С2, В1, А2 принадлежат окружности с центром Е и диаметром С,С2.

6) E— середина диагонали С,С2 прямоугольников С,A2С2A1 и С1В1С2В1. Значит, и вторые диагонали A1А2 и В,В2 соответственно прямоугольников С,A2С2A1 и С1В2С2В1 проходят через точку Е, так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, A1A2 и В,В2 —тоже диаметры этой окружности.

7) УГОЛ B2H2B 1= 90°, так как ВН2перп. А С, и этот угол опирается на диаметр В2В, окружности с центром Е. Значит, Н2 лежит на окружности.

Аналогично угол А2H1A1 = 90° и A1A2 — диаметр окружности. Значит, точ­ка H, лежит на окружности. уголC1H3C2 = 90° и С,С2 — диаметр окруж­ности. Следовательно, точка H3 принадлежит окружности. Таким образом, все девять точек лежат на окружности. Теорема доказана.

Tеорема 6.15. Центр Е окружности девяти точек треугольника лежит на середине отрезка ОН, где Н — ортоцентр треугольника, О — центр описанной окружности, а радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной около треугольника окружности

Дано: ∆АВС, A1 — середина ВС, В1 — середина AC, C1— середина АВ, ВН2, АН1, СН3 — высоты треугольника ABC, Н = ВН2 ∩ АH1∩ СН3, В2 — середина ВН, A2 — середина АН;С2 — середина СН, Е — центр окружности девяти точек, О — центр опи­санной около ∆АВС окружности (рис. 6.12).

Доказать: Е принадл.ОН и ОЕ = EH, ЕА1=1/2R , где R — радиус описанной около ∆АВС окружности.

Доказательство.

1) ∆A1В,С, подобен ∆АВС с коэффициентом подобия к = 1/2

Значит, радиус окружности, описанной около ∆A1B1C1равен 1/2 R. Окружность девяти точек описана около треугольника A1В,С,. Значит, радиус окружности девяти точек равен половине радиуса окружности,

описанной около треугольника ABC, т. е. EA1 = 1/2 R .

2) Треугольники A1B 1C1и А2В2С2 симметричны относительно точки Е (см. доказательство теоремы 6.14). Значит, их ортоцентры тоже симметричны относительно точки Е.

Н — ортоцентр треугольника A2В2С2. О — ортоцентр треугольника A1B1C1 так как ОВ1— серединный перпендикуляр к АС, значит, OB1перп. АС,. Аналогично А1О и С10 принадлежат высотам ∆А1В,С,. Таким образом, точки О и Н симметричны относительно точки Е, т. е. ОЕ = ЕН. Теорема доказана.

Теорема 6.16. Расстояние между центрами О и I описанной и вписанной окружностей треугольника и радиусы R и .r этих окружно­стей связаны формулой: OI2 = R2 - 2Rr, называемой фор­мулой Эйлера.

Дано: ∆АВС, I— центр вписанной окружности, г — радиус вписанной окружности, О — центр описанной окружности ∆АВС, R — радиус описанной окружности.

Доказать: OI2 = R2 - 2Rr.

Доказательство.

  1. Пусть биссектриса CI угла С треугольника ABC пересекает описан­ную окружность в точке D (рис. 6.13). Проведем диаметр DP этой окружности DP - 2R .

  2. Проведем диаметр MN описанной окружности, проходящий через точку /.

Тогда CI*ID = MI*IN (1), так как произведение отрезков хорд, про­ходящих через точку /, — величина постоянная.

  1. Обозначим 01 = d . Тогда MI = R + d; IN = R-d . Тогда (1) перепишется в виде: CI*ID = R2-d2 (2).

  2. ∆APD подобен∆IТС, где IT перп. АС, так как уголPAD = 90° (опирается на диа­метр PD) и уголCTI = 90°; уголAPD = углуACD, как вписанные, опираю­щиеся на дугу AD.

  3. Из подобия треугольников APD и ICT имеем: AD/PD =PI/CI ; AD*CI = r-2R (3).

  4. В задаче 5.06* доказано, что AD = DI. Тогда (3) перепишем следу­ющим образом: DI - CI = r-2R (4).

  5. Из (2) и (4) получаем, что R2-d2 = 2Rr, т.е. d2=R2-2Rr, где d=OI ,т. е. OI2 = R2-2Rr. Теорема доказана.