20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств

В настоящее время в высшей математике обозначился ряд задач, для решения которых достаточно знаний элементарной математики, но до решения которых не доходит дело в средней школе. Речь идет о методе областей для решения неравенства и системы неравенств с двумя переменными. Приобрести навыки в решении таких неравенств можно,  обобщив   метод   интервалов .  Метод   интервалов , применяемый для решения неравенств с одной переменной, основывается на свойстве

непрерывности элементарных функций. Суть метода состоит в том, что элементарные функции непрерывны в области своего определения, и изменение знака функции может произойти либо в разрывах области определения, либо в нулях функции. Процесс решения неравенства сводится

к следующим этапам:

· нахождение области определения функции,

· нахождение нулей функции и постановка их на область определения,

· нахождение знаков функции на полученных интервалах.

Покажем, как используя  метод  аналогий, распространить  метод   интервалов  на тригонометрические неравенства, неравенства с двумя переменными, параметрические неравенства. Применение метода аналогий при обучении преследует несколько целей:

· во-первых, продемонстрировать то, как приемы и методы, дающие решение задачи в одной ситуации, применяются в другой ситуации,

· во-вторых, воспроизведение  метода   интервалов  в изменившихся условиях его применения, приводит к повторению этапов решения и осознанию универсальности метода, каковым он и является на самом деле,

· в-третьих, происходит обучение решению достаточно сложных типов неравенств, умение решать которые помогает освоению разделов высшей математики.

Решения тригонометрических неравенств можно оформлять либо на числовой прямой, что крайне неудобно, либо на тригонометрическом круге. Для того, чтобы подобрать тригонометрические неравенства для демонстрации  метода   интервалов , можно взять тригонометрическое уравнение, и решение которого предполагает оформление области определения функции и проверку корней уравнения на принадлежность области определения, и преобразовать это уравнение в неравенство. Далее действовать по намеченному плану: найти область определения функции и нанести ее на круг; найти нули функции и нанести их на тот же круг, в итоге круг будет разбит на дуги, на которых

функция сохраняет свой знак. Необходимо проверить знаки функции на полученных дугах. Далее, обходя круг против часовой стрелки, выписать ответ, учитывая периодичность точек на круге.

Прежде чем демонстрировать  метод   интервалов  для решения параметрических неравенств, который называется методом областей, необходимо показать решение неравенства с двумя переменными на плоскости XOY. Построение линий и областей на плоскости ХОУ более привычное дело, чем на плоскости ХО. Чтобы подобрать такие неравенства, можно для начала взять несложное параметрическое неравенство, и заменить параметр на переменную у. Далее вводится в рассмотрение функция двух переменных f(x,y). Областью определения функции двух переменных является либо вся плоскость ХОУ, либо некоторые

части плоскости. Далее функция приравнивается к нулю и строится линия f(x,y)=0, которая разбивает область определения на части, на которых функция сохраняет свой знак. Далее методом пробной точки выбирается произвольная точка из каждой области, ее координаты подставляются в функцию и просчитывается знак функции. Далее выписывается ответ, т.е. прификсированном у, пределы изменения переменной х задаются, как функции

у, либо наоборот. Необходимо отметить, что навыки, приобретенные при выписывании ответа необходимы при расстановке пределов интегрирования в двойном интеграле.