Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.

Пусть уравнения A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, A₁² + B₁² + C₁² ≠ 0 и A₂x + B₂y + C₂ z + D₂ = 0,

A₂² + B₂² + C₂² ≠ 0, описывают в одной и той же декартовой системе координат две плоскости, нормальные векторы которых соответственно N₁ = (A₁, B₁, C₁) и N₂ = (A₂, B₂, C₂). Угол между этими плоскостями — это угол между их нормальными векторами и определяется по формуле

Плоскости совпадают, тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число k такое, что одновременно выполнены равенства A₁= kA₂ ,B₁= kB₂ , C₁= kC₂ , D₁= kD₂.

Плоскости параллельны, тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число k такое, что одновременно выполнены равенства A₁= kA₂ ,B₁= kB₂ , C₁= kC₂ и D₁≠ kD₂ (нормальные векторы плоскостей параллельны).

Плоскости перпендикулярны, тогда и только тогда, когда A₁A₂ + B₁B₂+ C₁C₂ = 0 (нормальные векторы плоскостей перпендикулярны).

Угол между плоскостями. 

  Угол между двумя плоскостями в пространстве  связан с углом между нормалями к этим плоскостям ₁ соотношением:  = ₁ или  = 180⁰ - ₁, т.е.

cos = cos₁.

  Определим угол ₁. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями: , где(A₁, B₁, C₁),

(A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения: .   Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:  

Определение 1. Двугранным углом называется часть пространства, ограниченная двумя полуплоскостями, границей каждой из которых служит их общая прямая. Двугранный угол также называют углом между данными плоскостями.

Определение 2. Плоскости (полуплоскости), которые ограничивают двугранный угол, называются гранями двугранного угла.

Определение 3. Линия пересечения граней двугранного угла называется ребром двугранного угла. Определение 4. Линейным углом двугранного угла называется угол, образованный двумя полупрямыми, полученными при пересечении граней двугранного угла плоскостью, перпендикулярной ребру этого двугранного угла. Значение линейного угла данного двугранного угла есть значение данного двугранного угла.