5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений

Уравнение – это математическое утверждение, записываемое в виде равенства двух буквенных выражений с переменными, которое истинно при одних значениях переменных и ложно при других их значениях.

Решить уравнение – значит найти все значения переменных, при которых это утверждение превращается в верное числовое равенство, или доказать, что таких значений не существует.

Уравнением с одним неизвестным называется равенство

(где заданные функции), в котором требуется найти все значения , при которых данное равенство является верным. Функция называется левой частью, а – правой частью уравнения. В частности, может быть .

Областью определения уравнения называется множество всех значений переменной , при которых одновременно имеют смысл и левая, и правая части уравнения. Область определения уравнения определяется пересечением областей определения функций и .

Корнем (или решением) уравнения называется всякое число , при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство . Уравнение может иметь один, два, три и большее число корней, а также бесконечное их множество или не иметь корней вовсе.

Замечание. Решение уравнения считается правильным только в том случае, если найдены все корни уравнения и в процессе решения убедительно доказано, что множество корней именно такое, как указанно в ответе. В частности, метод «угадывания» корней считается правильным, если доказано, что других корней нет.

Уравнение вида , где

называется уравнением с параметром , если ставиться задача для каждого значения параметра найти множество его корней . В общем случае каждый корень уравнения зависит от значения параметра: .

Процесс решения уравнения – это последовательность некоторых преобразований, производимых над левой и правой частями уравнения и позволяющих заменить данное уравнение другим уравнением, решение которого известно или очевидно.

Пусть в процессе решения уравнения было получено уравнение . Говорят, что при этом произошла потеря корней, если существует хотя бы одно число , которое является корнем исходного уравнения, но не является корнем уравнения .

Если преобразование уравнений может привести к потере корней, необходимо отдельно рассмотреть «выпадающие» в результате выполнения этого преобразования значения переменных, проверив их на принадлежность к множеству решений.

Число называется посторонним корнем уравнения , если оно, являясь корнем уравнения , не является корнем исходного уравнения.

Равносильными называются два уравнения и , если они имеют одно и то же множество решений (или оба они не имеют корней). Равносильность обозначается символом : .

Уравнения называются равносильными на некотором множестве значений неизвестной, входящем в области определения уравнений, если они имеют одни и те же решения, принадлежащие множеству .

Если все корни уравнения являются корнями уравнения (при этом области определения уравнений могут не совпадать), то второе уравнение называют уравнением–следствием первого и пишут .