10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники

Четырехугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около окружности, а окружность - вписанной в этот четырехугольник

Теорема 3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой из темы круг и окружность, которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, т.е. ВК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т.д.

• В паралелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

• Если трапеция описана около окружности, то концы боковой стороны и центр окружности являются вершинами прямоугольного треугольника

• Рассмотрим описанную трапецию с параллельными

сторонами АО и ВС. Тогда так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180°, то ВСВ + СДА = 180°. А поскольку лучи СО и ДО, где О — центр вписанной в трапецию окружности, являются биссектриса­ми углов ВСД и СВА соответственно, то ОСД + СДО = 90° в, таким образом, в треугольнике ДОС угол с вершиной О являет­ся прямым.

Аналогично показывается, что треугольник ВОА также яв­ляется прямоугольным, а это и доказывает требуемое.

• Если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы равны, то в него можно вписать окружность

Пусть в четырехугольнике АВСД углы АВД и АСД равны. Проведем через точки А, В, С окружность и предположим, что вершина О лежит, например, внутри круга, границей которого является проведенная окружность (рис.а)). Продолжим отрезки ВД и СО до пересечения с окружностью в точках Д и 0₂ соответ­ственно. Тогда АВО =1/2 дуги АД₂Д₁, а АСВ= ½ дуги АД₂, что приводит к противоречию, так как по условию АВД = АСД. Итак, точка В должна лежать на окружности или находиться вне круга. Предположим, что она находится вне круга (рис. б)). Обозначим через Д₁ и Д₂ точки пересечения окружности с отрезками ВД иСО соответственно. Тогда АВД = ½ дуги АД₁ , а АСД = 1/2 дуги АД₂Д₁ что, как и в первом случае, также вступает в противоречие с условием задачи. Вывод: точка Д является точкой окружности, описанной около четырехугольника АВСД. Обратно, если четырехугольник ВСВ вписан в окружность, то равенство углов АВД и АСД следует из того, что они являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу.

Т э а р э м а (аб акружнасці, упісанай у правільны многа- вугольнік). У любы правільны многавугольнік можна ўпі- саць акружнасць, і прытым толькі адну.

Дадзена: А₁А₂А₃…А_п — правільны многавугольнік.

Даказадь: існуе пункт, роўнааддалены ад прамых, якія змяшчаюць стораны многавугольніка. Ён адзіны.

Доказ. 1. Дакажам існаванне. Няхай О — цэнтр акружнасці (рыс.

2) Адсюль вынікае, што акруж- насць з цэнтрам О і радыусам ОН₁ праходзіць праз пункты Н₁,

Н_{2 ,} ... Н_n і датыкаецца да старон многавугольніка ў гэтых пудктах, значыць, акружнасць упісана ў разглядваемы мно- гавугольнік.

2. Дакажам адзінкавасць. Дапусцім, што побач з акруж- насцю ω (О, ОН₁) ёсць і другая акружнасць, упісаная ў мно- гавугольнік А₁А₂... А_n. Тады яе цэнтр О₁ роўнааддалены ад старон многавугольніка, г. зн.пункт О₁ ляжыць на кожнай з бісектрыс вуглоў многавугольніка і, такім чынам, супадае з пунктам О перасячэння гэтых бісектрыс. Радыус гэтай акружнасці роўны адлегласці ад пункта О да старон многа- вугольніка, г. зн. роўны ОН₁. Такім чынам, другая акруж- насць супадае з першай.

Вынік 1. Акружнасць, упісаная ў правільны многаву- гольнік, датыкаецца да старон многавугольніка ў іх сярэдзінах.

Вынік 2. Цэнтр акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка, супадае з цэнтрам акружнасці, утіісанай у той жа многавугольнік.

Гэты пункт называюць цэнтрам правільнага многавугольніка.

Теорема 7.2. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность (около окружности описать четырехугольник) тогда и толь­ко тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство.

Пусть четырехугольник ABCD описан около окружности. Точки касания окружности со сторонами четырехугольника обозначим М , N, Р, Q (рис. 7.04). По свойству касательных, проведенных из одной точки, име­ем: AM = AN, MD = DQ, BP = NB, PC = CQ. Складывая эти равенства, получим AM+MD + ВР + PC = AN+NB + CQ + QD, что означает AD + + ВС = AB + CD. Итак, если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажем справедливость обратного утверждения: если в выпуклом че­тырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность. Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD AB + CD = ВС + AD. Если докажем, что существует единственная точка, равноудаленная от всех сторон четырехугольника, то эта точка, очевидно, будет центром ок­ружности, касающейся всех сторон четырехугольника. Пусть AD = а, АВ = Ь,ВС = с, CD = d. По условию a + c = b + d, что равносильно с-b = = d-a. Пусть d> а. Отложим на большей стороне CD меньшую сторо­ну DM= а (рис. 7.05).

Так как в этом случае с > b, то также на стороне ВС отложим BN = b. Получим три равнобедренных треугольника ABN, AMD и MCN. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине является медианой и высотой, отсюда следует, что если прове­сти биссектрисы углов В, С, D, то они разделят пополам отрезки AN, MN и AM соответственно и будут серединными перпендикулярами трех сто­рон треугольника AMN, а следовательно, пересекутся в одной точке. Обозначим эту точку О. Она одинаково удалена от сторон АВ и ВС (ле­жит на ОВ), ВС и CD (лежит на ОС), CD и AD (лежит на OD), следова­тельно, точка О одинаково удалена от всех сторон четырехугольника ABCD. Если d - а, то с = b (рис. 7.06). Тогда биссектрисы углов BиD совпадают (они перпендикулярны АС и проходят через середину АС). Пусть биссектриса угла С пересекает BD в точке О. Эта точка одинаково удалена от сторон ВС и CD, а также от сторон ВС и ВА, CD и AD, т.е. от всех сторон четырехугольника ABCD, значит, в этот четырехугольник можно вписать окружность. Доказательство закончено.

А

Рис. 7. 06