4. Прямая Эйлера

Т1. Пусть О — центр окружности, описанной около треуголь­ника ABC, М — точка пересечения его медиан, Н — орто­центр. Тогда точки О, М, Н лежат на одной прямой, причем М делит отрезок ОН в отношении 2:1, считая от Н. Прямая, содержащая эти точки, называется прямой Эйлера для треугольника ABC. Дано: ∆АВС, ВB₁┴АС, СС₁ ┴АВ, Н = ВB₁∩ СС₁, АА₂, ВВ₂ — медианы ∆АВС, М = АА₂ ∩ВВ₂. В₂О┴АС, А₂О┴ВС, О = В₂О ∩ А₂О (см. рис.). Доказать: М ОН, МН=2ОМ.

Доказательство. Пусть М₁, = ОН∩ВВ₂.

Тогда ∆М₁ОВ₂ ~ ∆M₁HB , так как OM_lB₂ = HM₁B (как вертикаль­ные), OB₂M₁ = M₁BH (как накрест лежащие при параллельных прямых ОВ₂ и ВВ₁ и секущей В₂В ). Из подобия треугольников ОМ₁В₂ и НМ₁В получаем:. Отношение ОВ₂: ВН = 1:2, так как расстояние от центра описанного круга О до стороны ВС вдвое меньше, чем расстояние от вершины В до ортоцентра Н. Тогда из (1) получаем . Но если медиана делится точкой в отношении 2:1, считая от верши­ны треугольника, то это точка — центроид треугольника, т.е. точка совпадает с точкой М. А это означает, что точки Н М, О лежат на одной прямой, так как точкой М₁ мы обозначили точку пересече­ния ОН с медианой ВВ₂.Из (1) имеем _.Так как = М , то 