13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании.

При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается ОДЗ логарифма. Если ОДЗ найти сложно, то можно только выписать условия, а затем проверить полученные корни подстановкой в ОДЗ (можно проверять подстановкой в уравнение, не выписывая ОДЗ).

Типы уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с переменной (число).

I тип: уравнение вида: (1) где c  R. ОДЗ:

На указанной ОДЗ уравнение (1) решают по определению логарифма:

II тип: уравнение вида (2) ОДЗ:

На основании равенства логарифмов, уравнение (2) сводится к равносильному ему (на указанной ОДЗ) уравнению: (3).

ОДЗ:

Данное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений:

III тип: уравнения, решаемые заменой переменной (4), где F – некоторое выражение относительно

Необходимо определить ОДЗ уравнения, учитывая все условия существования логарифма и выражения F. Далее заменяют и решают уравнение

Если – корни последнего уравнения, то, после возвращения к старой переменной, необходимо решить совокупность

Полученные корни проверяют по ОДЗ.

З а м е ч а н и е. Если вместо какого-либо выражения f(x), g(x), h(x) уравнения (1)–(4) содержат число, то соответствующее условие не записывают в ОДЗ.