11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании a (a  0).

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x) – некоторые выражения с неизвестной величиной x.

I тип: уравнение вида где (1) имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a: Тогда (2)

Решение уравнения (2) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип: уравнение вида где (3) по свойству равенства степеней равносильно уравнению Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип: уравнение вида (4) где F – некоторое выражение относительно

Производят замену переменной и решают уравнение F(y) = 0. Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (4) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений x графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

Типы показательно-степенных уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с неизвестной x, f(x) > 0.

I тип: уравнение вида (5). Решение уравнения (5) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип: уравнение вида (6)

Решение уравнения (6) на ОДЗ сводится к решению совокупности