Теория Нэша для некооперативных игр

В качестве решения биматричной игры Дж. Нэшем (J. Nash) [2, 5] предложено считать ситуацию равновесия (S_A^*, S_B^*), которая определяется следующим образом.

Определение 4.1. Пара смешанных стратегий (S_A^*, S_B^*), гдеS_A^* = (p_i^*), i = 1, …,m, S_B^* = (q_j^*), j = 1, …,n, являетсяситуацией равновесия, если для любых других двух смешанных стратегияхS_A = (p_i), i = 1, …,m, S_B = (q_j), j = 1, …,n, игроковAиBвыполняются следующие условия:

1. ,

2. .

Согласно определению ситуация равновесия обладает свойством устойчивости, т.е. игрокам не выгодно от нее отступать. Нэш доказал следующую теорему [5].

Теорема 4.1. Каждая некооперативная биматричная игра имеет по крайней мере одну ситуацию равновесия.

Решением биматричной игры является ситуация равновесия, причем, если таких ситуаций несколько, то они должны быть взаимозаменяемы (равноценны). Нэш доказал, что для любой биматричной игры существует ситуация равновесия, но не дал общего метода её поиска.

Рассмотрим примеры биматричных игр, к которым плохо применима теория Нэша.

1. «Дилемма заключенного»

Данная биматричная игра G(22) представлена табл. 4.2.

Таблица 4.19

Bm An	В1	В2
А1	(–1; –1)	(–10; 0)
А2	(0; –10)	(–6; –6)

Интерпретация игры следующая.

Два заключенных находятся в разных камерах и подозреваются в совершении одного и того же преступления. Каждый из них располагает двумя стратегиями поведения: кооперативными (молчать и не давать показания) А₁ иВ₁, и некооперативными (давать показания на другого)А₂ иВ₂.

Нетрудно заметить, что вторые стратегии игроков предпочтительнее (доминируют) первых, и, следовательно, ситуацией равновесия будет пара (А₂,В₂) с выигрышем (–6;–6), но, очевидно, что ситуация (А₁, В₁), дающая выигрыш (–1; –1) более выгодна сразу для обоих игроков (правда, для ее достижения игрокам необходимо договориться между собой, т.е. вступить в коалицию, иначе можно попасть на невыгодные стратегии (А₁, В₂) и (А₂, В₁)).

2. «Конкурирующие фирмы»

Эта биматричная игра G(22) представлена табл. 4.3.

Таблица 4.20

Bm An	В1	В2
А1	(5; 5)	(2; 7)
А2	(7; 2)	(3; 3)

Здесь также у игроков (конкурирующих фирм) по две стратегии: стратегии сохранения цен на продаваемый ими товар А₁,В₁и стратегии снижения ценА₂, В₂. Аналогично предыдущей игре вторые стратегии предпочтительнее первых и ситуацией равновесия является пара (А₂,В₂) с выигрышем (3;3), но и в этой игре ситуация (А₁, В₁) с выигрышем (5;5) более выгодна сразу для обоих игроков (правда, и здесь для ее достижения фирмам необходимо договориться не снижать цены, что может противоречить их интересам).

3. «Семейный спор»

Рассмотри еще одну биматричную игру G(22), представленную табл. 4.4.

Таблица 4.21

Bm An	В1	В2
А1	(2; 1)	(–1; –1)
А2	(–5; –5)	(1; 2)

У игроков А– мужа иВ– жены имеются по две стратегии:А₁иВ₁ – пойти на футбол;А₂иВ₂ – пойти в театр. В данном случае получаем две ситуации равновесия – (А₁, В₁) с выигрышем (2;1) и (А₂,В₂) с выигрышем (1;2), но так как ситуации равновесия не являются равноценными, то данная игра считается неразрешимой по Нэшу.