Практический пример

Рассмотрим следующую задачу. Проводится конкурс на реализацию двух проектов, в котором участвует два претендента – конструкторское бюро 1 (КБ1), имеющее 4 отдела, и конструкторское бюро 2 (КБ2), имеющее 3 отдела. Финансирование первого проекта – a денежных единиц, второго –b. Практика проведения данного конкурса показывает, что, как правило, проект достаётся тому КБ, которое выделяет большее число отделов на его выполнение. Если каждое КБ выделяет одинаковое число отделов на выполнение проекта, то они имеют одинаковую вероятность на его получение. Требуется определить, сколько отделов следует выделить каждому КБ на выполнение первого и второго проектов с целью максимизации их финансирования.

Если в качестве стратегии КБ взять пару (,), гдеи – количество отделов, выделяемых соответственно под первый и второй проекты, то у КБ1 (игрокаA) имеется 5 стратегий:A₁ = (4; 0), A₂ = (3; 1), A₃ = (2; 2), A₄ = (1; 3), A₅ = (0; 4), а у КБ2 (игрокаB) – 4 стратегии:B₁ = (3; 0), B₂ = (2; 1), B₃ = (1; 2), B₄ = (0; 3).

Так как целью каждого из игроков является максимизация собственного выигрыша (возможного финансирования), то соответствующая парная игра G(54) не является антагонистической (выигрыш одного игрока не равен проигрышу другого).

Для того чтобы свести данную игру к антагонистической необходимо из выигрышей a_ij игрокаAвычесть средний выигрыш – (a+b)/2. В итоге получим антагонистическую игруG(54), представленную табл. 3.14.

Таблица 3.15

Рассмотрим случай а = b, представленный табл. 3.15. Упростим игру, удалив доминируемые и дублируемые стратегииA₁, A₅, B₂,B₃,A₃. Получим игруG(22), представленную табл. 3.16.

Таблица 3.16

Bj Ai	В1	В2	В3	В4
А1	a / 2	0	0	0
А2	a / 2	a / 2	0	0
А3	0	a / 2	a / 2	0
А4	0	0	a / 2	a / 2
А5	0	0	0	a / 2

Таблица 3.17

Bj Ai	В1	В4
А2	a / 2	0
А4	0	a / 2

Решив данную игру, например, методом Лагранжа, получим: p₂ = p₄ = 0,5; q₁ = q₄ = 0,5; V = a/4.

Тогда для исходной игры G(54) решением будет:S_A = (0,0; 0,5; 0,0; 0,5; 0,0), S_B = (0,5; 0,0; 0,0; 0,5),V_КБ1 = a / 4 +a = 5a / 4, V_КБ2 = 3a / 4.

Полученный результат означает, что КБ1 рекомендуется использовать равновероятно стратегии A₂ илиA₄, т.е. распределить отделы между проектами в соотношении 3 к 1 или 1 к 3 с ожидаемым финансированием 5a / 4, а КБ2 – стратегииB₁ илиB₄, т.е. направить все усилия (отделы) на выполнение одного из проектов с ожидаемым финансированием 3a / 4.