Введение

Теория игр – это математическая дисциплина, исследующая вопросы поиска решений в конфликтных ситуациях. Основы теории игр заложены в 1928 году Джоном фон Нейманом и Оскаром Моргенштерном, исследовавшим конфликтные ситуации в условиях рыночной экономики. Наиболее подробно теория игр изложена ими в фундаментальной работе «TheoryofGamesandEconomicBehavior»,Princeton,PrincetonUniversityPress, 1953 (русский перевод [1]), цитата из которой взята в качестве эпиграфа к данной книге. Теоретико-игровые методы и модели нашли достаточно широкое применение в области автоматизации процессов принятия решений (см., например, работы [24]), в том числе в интеллектуальных системах поддержки принятия решений, предназначенных для помощи лицам, принимающим решения, при управлении сложными объектами или процессами различного типа (техническими, экономическими, транспортными и т.д.) [4].

При подготовке материала использованы работы из приведенного в конце книги библиографического списка (эти же работы можно использовать для более широкого знакомства с методами и моделями теории игр и их применением), а также наработки автора. Материал книги изложен в следующем порядке.

В разделе 1 даются определения основных понятий теории игр, и приводится классификация игровых моделей, основываясь на работах [13, 5, 6].

В разделе 2 рассматривается игра двух лиц с нулевой суммой (антагонистическая игра) при ее наиболее общем (универсальном) представлении в виде дерева игры (дерева решений) и методы поиска решения на дереве. Более подробно с методами поиска (как строгими, так и эвристическими) на деревьях решений можно ознакомиться по работам [7, 8].

В разделе 3 описываются методы решения антагонистической игры, представленной в матричной форме. Рассматриваются ситуации поиска решения в чистых стратегиях при наличии в матрице игры седловой точки и в смешанных стратегиях, когда седловая точка отсутствует. Приводятся строгие методы, гарантирующие нахождение оптимального решения, и приближенные методы, дающие некоторое приближение к оптимальному решению, но характеризующиеся существенно меньшей вычислительной сложностью. Класс антагонистических игр наиболее исследован в теории игр и интересующиеся могут найти дополнительную информацию, например, в работах [13, 5, 6, 9].

В разделе 4 рассматривается игра двух лиц с произвольной суммой (биматричная игра) и подходы к ее решению, в частности, на основе теории Нэша. Дополнительную информацию по биматричным играм, как некооперативным (некоалиционным), так и кооперативным (коалиционным), и методам их решения можно получить из работ [2, 3, 5, 6, 10].

Раздел 5 посвящен методам поиска решений в условиях неопределенности и риска на основе теории статистических решений или так называемым играм с «природой», где под «природой» понимается некоторая реальность (или условия), действия или состояния которой неизвестны, но могут оказывать влияние на результаты принимаемых решений. Описание данного класса игр можно найти в работах [3, 9, 11].

В разделе 6 рассмотрен класс игровых моделей в виде игр с упорядоченными исходами [10], когда предпочтения игроков задаются в виде отношений порядка на множестве исходов (выигрышей, платежей).

В разделе 7 приводится описание и пример использования программной системы для решения антагонистических игр с применением как точного, так и приближенного методов.

Приведены контрольные вопросы по изложенному материалу и библиографический список.

Конечно, сравнительно небольшое пособие не является исчерпывающим по данной проблематике. В частности, не рассмотрены методы поиска решения в условиях неопределенности и риска с использованием теории полезности для игровых моделей в виде так называемых лотерей и проспектов. Соответствующую информацию можно найти в работах [5, 12]. Также, как уже отмечалось, для более глубокого изучения различных разделов курса можно воспользоваться литературой из библиографического списка.