logo search
PRZ_-_shpory

15. Метод площадей.

Характеристика метода. Из названия следует, что главным объектом данного метода является площадь. Для ряда фигур, например для треугольника, площадь довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов фигуры (треугольника). Поэтому весьма эффективным оказывается прием, когда сравниваются различные выражения для площади данной фигуры. В этом случае возникает уравнение, содержащее известные и искомые элементы фигуры, разрешая которое мы определяем неизвестное. Здесь и проявляется основная особенность метода площадей – из геометрической задачи он «делает» алгебраическую, сводя все к решению уравнения (а иногда системы уравнений).

Само сравнение выражений для площади фигуры может быть различным. Иногда площадь фигуры представляется в виде суммы площадей ее частей. В других случаях приравниваются выражения, основанные на различных формулах площади для одной и той же фигуры, что позволяет получить зависимость между ее элементами.

Суть метода площадей не ограничивается только описанным выше приемом. Иногда бывает полезно рассмотреть отношение площадей фигур, одна из которых (или обе) содержит в себе искомые элементы.

В современных учебниках, пособиях и различного рода задачниках, к сожалению, уделяется мало внимания психологическим факторам, влияющим на успешность обучения математике. А именно, воспитание у учащихся уверенности в своих силах, развитие умения пользоваться прошлым опытом. В данном реферате предлагается разработка системы математических задач, решаемых методом площадей. Реферат построен следующим образом. Берутся два общеизвестных утверждения, которые являются базовыми. На основе этих утверждений выстраиваются две «цепочки» задач по нарастающему уровню сложности. Решения задач в этих «цепочках» основаны на базовых утверждениях и на решении предыдущих задач. Утверждение 1.  Два треугольника являются равновеликими, если равны их высоты и основания.

Задача 1. Докажите, что диагональ параллелограмма делит его на два равновеликих треугольника.

Решение. Высоты треугольников ABD и BCD равны. AD = BC (по свойству параллелограмма). Тогда в силу утверждения 1  S▲ABD = S▲BCD

Задача 2. На стороне CD параллелограмма ABCD взята произвольная точка Е. Зная, что S▲ABE = S, найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение. Проведем дополнительное построение: КЕ?AD. Тогда из задачи 1 следует, что  S▲KBE = S▲CBE, а S▲AKE = S▲ADE   .    Отсюда SABCD = 2S

Задача 3. В параллелограмме ABCD на сторонах AB и CD взяты произвольные точки M и N. Докажите, что площадь четырехугольника KMEN равна площади четырех образовавшихся треугольников.

Решение.  Проведем отрезок КЕ. Тогда в силу задачи 2 S▲KME = S▲KMB + S▲MEC, а S▲KNE = S▲AKN + S▲EDN

 Отсюда S▲KMEN = S▲KMB + S▲MEC + S▲KNE + S▲EDN

Задача 4. Внутри параллелограмма ABCD взята произвольная точка О. Зная площадь трех треугольников с вершиной в точке О, найдите площадь четвертого треугольника.                          

Решение.  Пусть S▲ADO = S1, S▲ABO = S2, S▲BOC = S3. Произведем дополнительное построение: КЕ?АВ. Введем следующие обозначения:   S▲EOD = a, S▲KCO = b, S▲BKO = c, S▲AEO = d. Тогда S2 = с +d , S▲DOC  = a + b, S1 + S3 = a + b + c + d .    Отсюда   S▲DCO = S1 + S3 - S2

Задача 5. Каждая диагональ четырехугольника делит его на треугольники одинаковой площади. Докажите, что это параллелограмм.   

Решение. Из условия следует, что верны равенства: S1 + S2 = S3 + S4  и S1 + S4 = S3 + S2 . Откуда получим, что S1 = S3, а S2 = S4. Отметим, что S2S1=AOOC, S4S3=AOOC. Кроме этого, соответствующие высоты треугольников BOC, COD и AOB,  AOD равны, соответственно, площади относятся как длины оснований. Из того, что S1 = S3  и S2 = S4.  следует, что AOOC=AOOC. Следовательно, AO = OC . Аналогично можно доказать, что BO = OD . Можно сделать вывод, что диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, а это значит, что ABCD  - параллелограмм.

Утверждение 2.  Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Задача 6. В параллелограмме ABCD точка К – середина АВ, а L – середина ВС. Зная, что SKBLD = S  , найдите SABCD .

Решение. Проведем диагональ ВD. Тогда,  исходя из утверждения 2, получим, что SABCD = S.

Задача 7. В четырехугольнике ABCD точка Е, середина АВ, соединена с вершиной D, а точка F, середина CD, - с вершиной В. Докажите, что SABCD = 2SEBFD

Решение. Проведя диагональ ВD и рассуждая аналогично задаче 6, получим, что  SABCD = 2SEBFD

Задача 8. В произвольном четырехугольнике проведены отрезки, соединяющие середины сторон этого многоугольника. Зная площади трех из полученных четырехугольников, найдите площадь четвертого.

Решение. В силу утверждения 2 и обозначений, использованных для элементов чертежа, получим S1 = a + b, S2 = b + c, S3 = c + d, S4 = a + d. Тогда, зная  S1, S2, S3, S4 получим, что  S4 = S1 + S3 - S2 .

Задача 9. Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.

Решение. В силу задачи 1 и утверждения 2 будем иметь 

S▲AOB = S▲BOC = S▲COD =S▲DOA

Задача 10. Середины двух параллельных сторон параллелограмма соединены с противолежащими вершинами. Какая часть площади параллелограмма ограничена проведенными отрезками?

Решение. Проведем отрезок МК. Тогда в силу задачи 9  SMFKE = 41SABCD.

Задача 12. На продолжениях сторон выпуклого четырехугольника АВСD отложены отрезки  BB1 = AB, CC1 = BC,  DD1 = CD и AA1 = AD. Докажите, что площадь четырехугольника  А1В1С1D1 в 5 раз больше площади четырехугольника АВСD.

Решение. Медиана делит площадь треугольника пополам, поэтому площади треугольников ABC, BB1C  и CC1B1  равны между собой. Площадь треугольника  ACD равна площади треугольника ADD1, площадь треугольника ADD1  равна площади треугольника  AA1D1 и т. д. Тогда S▲BB1C1 = 2S▲ABC,  S▲CC1D1 = 2S▲BCD,  S▲AA1B1 = 2S▲DBA, S▲DD1A1 = 2S▲CAD.  Суммируя эти равенства, получим S▲BB1C1  + S▲CC1D1  + S▲AA1B1  + S▲DD1A1.Обозначим площадь четырехугольника АВСD через S, тогда площадь четырех построенных треугольников равна 4S, а площадь четырехугольника А1В1С1D1 равна 5S.

Задача 13. Вершина А квадрата АВСD соединена с точкой О – серединой ВС, вершина В – с точкой Е – серединой СD, вершина С – с точкой N – серединой АD, а вершина D – с точкой К – серединой АВ. Точки пересечения проведенных прямых L, M, R, и Р служат вершинами четырехугольника LMRP.    Докажите, что SLMRP=51SABCD.

Решение.  ВКDE – параллелограмм, так как ВК = DE и ВК?DE, поэтому ВЕ?КD. АОСN – параллелограмм, так как АN = ОС и АN?ОС, поэтому ОА?СN. Учитывая, что О, Е, N, и К – середины сторон, из теоремы Фалеса следует, что АL = LP, BP = PR, CR = RM и DM = ML. Для большей наглядности дальнейшего хода решения задачи, представим чертеж в другом виде. Дальнейший ход решения совпадает с решением задачи 12.

Продолжим «цепочку» задач, исходной фигурой в которых будет выступать уже треугольник.

Задача 14. На продолжении стороны АВ треугольника АВС взята точка К так, что АВ = ВК. Точка L – середина ВС. Зная, что S▲BKL = S, найдите S▲ABC.

Решение. Сделаем дополнительное построение – проведем отрезок AL. В силу утверждения 2 и использованных на чертежах обозначений S▲ABC = 2S .

Задача 15. На продолжении сторон треугольника АВС построены отрезки AA1 =AC, BB1 = AB и CC1 = BC . Докажите, что S▲A1B1C1  = 7S▲ABC.

Решение.

 Произведя дополнительные построения, приняв во внимание обозначения на чертеже и опираясь на утверждение 2,  видим, что решение следует непосредственно из чертежа. 

Задача 16. На продолжении стороны треугольника АВС взята точка D так, что АС = СD. Пусть М – середина стороны АВ, а К – точка пересечения отрезков ВС и МD. Докажите, что площадь треугольника ВКD равна площади четырехугольника АМКС.

Решение. В треугольнике АВD  DМ и ВС – медианы. Поэтому S▲AMD =S▲BMD  и  S▲ACB = S▲CDB  . Эти равенства можно записать так: SAMKC + S▲CKD = S▲MDK + S▲BKD, SAMKC + S▲MBK = S▲CKD + S▲BKD

   Сложив эти равенства и упростив выражение, получим SAMCK = S▲BKD  .