PRZ_-_shpory

18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами

Квадратные уравнения с параметром.

Функция вида (- квадратный трехчлен), где , в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач.

Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратный трехчлен с параметром часто включается в варианты письменных работ и в тесты для собеседования на вступительных экзаменах в ВУЗы. Как правило, большая часть абитуриентов с этими задачами не справляется. Значит, им надо уделять больше внимания на факультативных занятиях в школе, на страницах печати.

При решении таких задач приходится работать с тремя типами моделей:

вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – график квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, или, если , то трехчлен имеет различные действительные корни и график пересекает ось абсцисс в двух точках. График (парабола) находится ниже находится ниже оси абсцисс, следовательно, a<0 и D<0. Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство выполняется при любом х; неравенство не имеет решений; трехчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент отрицателен.

Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:

уравнение записывают в виде ;
выбирают контрольные значения параметра ( в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что D=0, D<0, D>0, старший коэффициент квадратного трехчлена положительный, отрицательный, равный нулю и те значения параметра, при которых трехчлен становится неполным);
для каждого случая строят параболу ( геометрическую модель);
геометрическую модель описывают системой неравенств(аналитическая модель);
решают систему неравенств.

С помощью нахождения дискриминанта можно определить количество решений.

1) если D<0, то уравнение не имеет корней;

2) если D=0, то уравнение имеет один единственный корень;

3) если D>0, то уравнение имеет два решения.

Также рассмотрим возможные случаи при решении квадратных уравнений с параметром:

Пусть - абсцисса вершины; , - корни трехчлена; A,B – некоторые точки на оси

1) , , тогда и только тогда, когда или

корни лежат по разные стороны от числа А тогда и только тогда, когда или
оба коня больше А: или
оба корня лежат между числами А и В тогда и только тогда, когда или
корни лежат по разные стороны от отрезка [AB] тогда и только тогда, когда

или

В некоторых случаях при решении используется теорема Виета: 1. Квадратный трехчлен

2. Корни квадратного трехчлена и , причем

3. Дискриминант квадратного трехчлена

В случае четности второго коэффициента

4. Теорема

6) Уравнение имеет два отрицательных корня при условии:

7) Уравнение имеет два положительных корня при условии:

Содержание