Свойства хорд

Т1. Диаметр перпендикулярен хорде, не являющейся диамет­ром, тогда и только тогда, когда он проходит через середи­ну хорды. Дано: CD — диаметр окружнос­ти О, АВ — хорда окружности О. CD ∩ АВ = М , AM = MB. Доказать: CD ┴ АВ . Доказательство. Треугольник АОВ равнобедренный (OA = OB как радиусы окружности), ОМ — его медиана. Значит, ОМ — высота треугольника, т. е. ОМ ┴ АВ, или диаметр CD перпендикулярен хорде АВ. Докажем обратное.

Дано: CD — диаметр окружно­сти О, АВ — хорда окружности О, М = AB∩CD, CD ┴ АВ. Доказать: AM = MB. Доказательство. Треугольник АОВ равнобедренный (OA = OB) и ОМ — его высота, а значит, ОМ — медиана, т. е. AM= MB. 

Следствие. Расстояние от центра окружности до хорды равно расстоя­нию от центра до середины хорды.

Т2. Хорды одной окружности равны тогда и только тогда, когда они равноудалены от центра. Дано: окружность О, CD — хорда окружности О, АВ — хорда окружности О, АВ = CD. М— середина АВ, N— середина CD. Доказать: ОМ = ON. Доказательство. ∆OND = ∆ОМВ, так как они прямоугольные (ON ┴CD и ОМ┴АВ), ND= MB как половины отрезков CD и АВ, и OD = ОВ как радиусы окружности. Из равенства треугольников OND и ОМВ следует равенство их катетов ON и ОМ. Докажем обратное. Дано: окружность О, АВ и CD — ее хорды, ON┴CD, т. е. N— середина CD, М— середина АВ, т. е. ОМ ┴ АВ , ОМ= ON. Доказать: АВ = CD. Доказательство. ∆OND = ∆OMB, так как они прямоугольные (OND = OMB = 90°), ON = ОМ (по условию) и OD = ОВ (радиусы окружности О). Из равен­ства треугольников OND и ОМВ следует равенство их катетов ND и MB. Значит, CD = 2ND = 2MB = АВ. 

Опр..Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным углом.

Если две хорды АВ и KL пересекаются в точке М, то справедливо равенство: АМ*МВ=КМ*ML

Т3. Хорды данной окружности равны тогда и только тогда, ког­да они стягивают равные центральные углы. Доказательство: Равенство хорд АВ и CD следует из равенства треугольников АОВ и COD (по двум сторонам и углу между ними). Обратно: Дано: окр. О, АВ и CD — хорды окружности О, АВ=СD. Доказать: AOB= COD.

Д-во: Равенство углов АОВ и COD следует из равенства треугольников АОВ и COD (по трем сторонам).Эта теорема может быть сформулирована и таким образом: равные хорды видны из центра окружности под равными углами, и наоборот, под равными углами из центра окружности видны равные хорды. 

Опр. Градусной мерой дуги окружности называется гра­дусная мера центрального угла, который соответствует этой дуге. Две дуги одной окружности наз. равными, если их градусные меры равны.

Т4. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Следствие. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (т.е. на диаметр), прямой.

Опр. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Опр. Всякая прямая, имеющая с окружностью две общие тонки, называется секущей этой окружности.

Т5. (свойство касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Т6. (признак касательной). Прямая, проходящая через точку окружности и перпендикулярная ее радиусу, проведенно­му в эту точку, касается окружности.

Опр. Пусть из точки А проведены две касательные р и т к окружности с центром в точке О, которые касаются окружности в точ­ках Р и М соответственно (см. рис.).

Т7. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, прохо­дящей через эту точку и центр окружности. Док-во: Истинность этого факта следует из равенства треугольников ОРА и ОМА (см. рис.) по катету (ОР = ОМ как радиусы) и гипотенузе

(OA — общая). Таким образом, АР = AM и PAO = MAO . 

Т8. Дуги, заключенные между параллельными хордами окружности, равны.

Док-во: Равенство дуг АС и BD непосред­ственно следует из равенства уг­лов ABC и BCD. (см. рис. Справа ------>------>------>------>------>------>------>) 

Т9. Дуги, заключенные между касательной к окружности и па­раллельной ей хордой и этой окружности, равны. Доказательство. ОМ ┴т , т.к. т — касательная к окр. О в точке М. Значит, ОМ ┴АВ, так как т || АВ.

Тогда в равнобедренном треугольнике АОВ ON— биссектриса, где N = ОМ ∩АВ, т. е. AOM = MOB и AM =МВ.

Эту теорему можно сформулировать еще и так: если касательная парал­лельна хорде, то точка касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам. 

Т10. Угол между двумя пересекающимися хордами измеряется полусуммой дуг этой окружности, одна из которых заклю­чена между его сторонами, а другая — между их продол­жениями.

Т11. Угол, вершина которого лежит вне круга и стороны пере­секают окружность, измеряется полуразностью дуг, отсекаемых сторонами угла и заключенных внутри него.

Т12. Угол, образованный двумя касательными к окружности, равен полуразности большей и меньшей дуг, на которые окружность разбивается точками касания.