21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики

Синус

Синусом числа а называется ордината точки, изображающей это число на числовой окружности. Синусом угла в а радиан называется синус числа а. Синус - функция числа x. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки.

Область значений синуса - отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси ординат является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек. Период синуса равен   . Ведь через каждые положение точки, изображающей число, в точности повторяется.

Знак синуса: синус равен нулю при , где n - любое целое число;

синус положителен при , где n - любое целое число;

синус отрицателен при , где n - любое целое число.

Синус - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит, симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их ординаты - синусы - окажутся также противоположными. То есть для любого x.

Синус возрастает на отрезках , где n - любое целое число.

Cинус убывает на отрезке , где n - любое целое число.

при ; при .

Косинус

Косинусом числа а называется абсцисса точки, изображающей это число на числовой окружности. Косинусом угла в а радиан называется косинус числа а. Косинус - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, так как у любого числа можно найти ординату изображающей его точки. Область значений косинуса - отрезок от -1 до 1, так как любое число этого отрезка на оси абсцисс является проекцией какой-либо точки окружности, но никакая точка вне этого отрезка не является проекцией какой-либо из этих точек. Период косинуса равен . Ведь через каждые  положение точки, изображающей число, в точности повторяется.

Знак косинуса:

косинус равен нулю при , где n - любое целое число;

косинус положителен при , где n - любое целое число;

косинус отрицателен при , где n - любое целое число.

Косинус - функция четная. Во-первых, область определения этой функции есть множество всех чисел, а значит, симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, если отложить от начала два противоположных числа: x и -x, то их абсциссы - косинусы - окажутся равными. То есть

для любого x.

Косинус возрастает на отрезках , где n - любое целое число.

Косинус убывает на отрезках , где n - любое целое число.

при ; при .

Тангенс

Тангенсом числа называется отношение синуса этого числа к косинусу этого числа: .

Тангенсом угла в а радиан называется тангенс числа а. Тангенс - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, у которых косинус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении тангенса нет. И так как косинус равен нулю при , то , где .

Область значений тангенса - множество всех действительных чисел.

Период тангенса равен . Ведь если взять любые два допустимые значения x (не равные ), отличающиеся друг от друга на , и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию тангенсов в некоторой точке t. Вот и получится, что , то есть число является периодом тангенса. Знак тангенса: тангенс - отношение синуса к косинусу. Значит, он равен нулю, когда синус равен нулю, то есть при , где n - любое целое число.

положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при , где а - любое целое число.

отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при , где а - любое целое число.

Тангенс - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, . В силу нечетности синуса и четности косинуса, числитель полученной дроби равен , а ее знаменатель равен , а значит, сама эта дробь равна . Вот и получилось, что .

Значит, тангенс возрастает на каждом участке своей области определения, то есть на всех интервалах вида , где а - любое целое число.

Котангенс

Котангенсом числа называется отношение косинуса этого числа к синусу этого числа: . Котангенсом угла в а радиан называется котангенс числа а. Котангенс - функция числа. Ее область определения - множество всех чисел, у которых синус не равен нулю, так как никаких других ограничений в определении котангенса нет. И так как синус равен нулю при , то , где Область значений котангенса - множество всех действительных чисел.

Период котангенса равен периоду тангенса. Ведь если взять любые два допустимые значения x (не равные ), отличающиеся друг от друга на период тангенса, и провести через них прямую, то эта прямая пройдет через начало координат и пересечет линию котангенсов в некоторой точке t. Вот и получится, что , то есть, что число является периодом котангенса.

Знак котангенса: котангенс - отношение косинуса к синусу. Значит, он

равен нулю, когда косинус равен нулю, то есть при .

положителен, когда синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это бывает только в первой и в третьей четвертях, то есть при .

отрицателен, когда синус и косинус имеют разные знаки. Это бывает только во второй и в четвертой четвертях, то есть при .

Котангенс - функция нечетная. Во-первых, область определения этой функции симметрична относительно начала отсчета. А во-вторых, .

В силу нечетности синуса и четности косинуса, числитель полученной дроби равен , а ее знаменатель равен , а значит, сама эта дробь равна .

Вот и получилось, что . Котангенс убывает на каждом участке своей области определения, то есть на всех интервалах вида .