1.2 Способы задания множеств

Существуют два основных способа задания множеств:

1. Перечислительный способ (перечисление элементов)

2. Высказывательный способ (описание свойств элемента).

Перечислительный способ состоит в составлении полного списка элементов множества, заключенного в фигурные скобки и применяется только для конечных множеств с небольшим числом элементов. Множество записывается в следующей форме:

X = {X₁,Х₂, … ,Х_n}.

Примеры. А={Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон} - это множество планет солнечной системы, В={ФИТиУ, ФКСИС, ФРЭ, ФТК, ИЭФ, ВФ} - это множество факультетов университета.

Высказывательный способ состоит в задании такого свойства, наличие которого у элементов определенного множества является истиной. Описание свойства элементов обычно задается так: пусть

Р(х) — утверждение, заключающееся в том, что элемент х обладает свойством Р. Тогда запись

Х = {xM | Р(х)}

означает, что рассматриваемое множество Х состоит из элементов некоторого множества М, обладающих свойством Р.

Пример. Запись А={xR| (x²+2x-15=0)} означает, что множество A состоит из действительных корней уравнения: x²+2x-15=0. Это же множество можно также задать перечислительным способом: A={-5,3}.

Конечное множество может быть задано обоими способами, а бесконечные – лишь высказывательным способом. Пустые множества относятся к конечным.

Если рассматривать теорию множеств без ограничений на способы задания множеств, то такая теория называется наивной теорией множеств.

Еще при жизни Г. Кантора, создателя наивной теории множеств, были обнаружены многочисленные парадоксы в этой теории.

Приведем один из известных парадоксов Б. Рассела.

Пусть М — множество всех множеств. Тогда очевидно, что М ϵ М. Тем самым, существуют множества, содержащие себя как свой элемент.

Рассмотрим некоторое множество X, которое не содержит себя как свой элемент.

Пусть Y — множество всех таких множеств X, т. е. множество всех множеств, не содержащих себя как свой элемент.

Зададимся вопросом: каково множество Y? Содержит оно себя как элемент или нет? Возможны два случая: 1) содержит; 2) не содержит.

В первом случае YϵY. Тогда по определению множества Y имеем YY. Получили противоречие.

Во втором случае YY. Тогда по определению множества Y имеем YϵY. Получили также противоречие.

Иногда этот парадокс Рассела облекают в бытовую форму. Тогда появляется следующая парадоксальная ситуация. В полку имеется полковой Брадобрей, который руководствуется следующим приказом. Брить бороды только у тех людей, которые сами себя не бреют. Спрашивается, может ли Брадобрей брить себе бороду? Получается так, что если он не бреет себе бороду, то по приказу он должен себя брить. Как только Брадобрей начинает брить себе бороду, то по приказу он не должен себя брить. Парадокс.

Избежать парадоксов удается только в рамках аксиоматической теории множеств, т. е. теории, которая ограничивает способы задания множеств специальной аксиоматикой.