3.2 Операция проекции

Операция проектирования унарна. Она применима не к двум множествам, а к одному. Кроме этого, операция проектирования применима только к множеству кортежей одинаковой длины. Проекция множеств определяется через проекцию кортежей.

Определим понятие проекции кортежей.

Пусть задан кортеж α = <а₁, а₂, …, а_s>длины s.

1) Пусть 1 ≤i≤s. Тогда проекцией кортежа αна i-тую ось называется i-тая компонента кортежа α.

2) Пусть задано произвольное число q, такое, что 2 ≤q≤s. И пусть задано число осей 1≤i₁≤i₂≤...≤i_q≤s. Тогда проекцией кортежа αна оси с номерами i₁,i₂,...,i_q называется кортеж <а_i1, а_i2, …, а_iq>, который обозначается следующим образом: пр_{i1, i2,…,iq}α = < а_i1, а_i2, …, а_iq>.

3) Проекцией кортежа а на пустое множество осей называется пустой кортеж. Аналогично проекцией пустого кортежа на пустое множество осей называется пустой кортеж.

Пример. Пусть задан кортеж α= < 12, 15, 6, 8 >, пр_i1 α= <12>, пр_i2 α= <15>, пр_i3 α= <6>, пр_i4 α= <8>, пр_i1,i2 α= <12,15>, пр_i1,i4 α= <12,8>, пр_i5,i8 α= <>.

Определим понятие проекции множества. Как отмечено это понятие будет определено только для случая, когда проектируемое множество состоит из кортежей, причем все кортежи имеют одинаковую длину.

Проекция множества М — это множество проекций кортежей из М.

Пусть задано множество кортежей М длины s, s> 0.

1) Пусть 1 ≤i≤s, тогда проекцией множества М на i-тую ось называется множество проекций кортежей из М на i-тую ось и обозначается: пр_iM.

2) Пусть задано произвольное число q, такое, что 2 ≤q≤s, и задано число осей 1≤i₁≤i₂≤...≤i_q≤s. Тогда проекцией множества М на оси с номерами i₁,i₂,...,i_q называется множество проекций кортежей из М на оси с номерами i₁,i₂,...,i_q.

3) Проекцией множества М на пустое множество осей называется множество проекций кортежей из М на пустое множество: пр_ØМ.

Пример. Пусть М = { < 1, 2, 3, 4, 5 >, < 2, 1, 3, 5, 5 >, < 3, 3, 3, 3, 3><3, 2, 3, 4, 3><а, b, а, 1,а>}.Тогда пр₂М = { 2, 1,3, 2, b }, пр_2,4М = { <2,4>, <1, 5>, <3, 3>, <2, 4>, <b, 1> }, пр₆₇М = Ø.

Пусть М — произвольное множество, длина которого s, s≥2. Тогда множество M^s состоит из кортежей длины s и значит, его можно проектировать. Операция проектирования множества основана на описанных правилах построения проекций кортежей и множеств. Для любого натурального числа 1 ≤i≤sпроекция пp_iM^s= М.

Согласно определению операции проектирования, можно сказать, что для произвольного кортежа <х, у> истинны следующие высказывания:

<х, у>Аxпр₁A & yпр₂A,

хпр₁A yпр₂A <х,у>А.

Приведем основные свойства операции проектирования:

Пусть AX×Y, BX×Y, тогда для любых xX и уY (xX &yY)

В то же время в общем случае ложными являются следующие высказывания:

Некоторые из перечисленных высказываний следуют из определения прямого произведения. Для доказательства других свойств необходимо использовать методы доказательств тождеств с множествами.

Рассмотрим операции над кортежами: инверсия и композиция.

1) Инверсия.

Инверсия кортежа определяется следующим образом. Пара <c, d> называется инверсией пары <a,b>,если c=b&d=a. Инверсия пары α обозначается α^-1

Пример.α = <а, b>,тогда α ^-1= <b, а>. (α ^-1)^-1= α, ((α ^-1)^-1)^-1= α^-1. Тогда α^-n= α и α^-(n-1)=α^-1, при четном n.

2) Композиция.

Кортеж α= <х, у>называется композицией двух кортежей β = <х, z>и γ = <z, у>и записывается α = β·γ. Операция композиции справедлива, когда вторая компонента кортежа βсовпадает с первой компонентой кортежа γ. Здесь как бы происходит "склеивание" двух кортежей по компоненте z.