4.2 Свойства отношений

Свойства отношений:

1. Рефлексивность: если aAa φ a;

2. Антирефлексивность: если aAa’ φ a;

3. Симметричность: если a,bAa φ b→b φ a;

4. Антисимметричность: если a,bAa φ b&bva→a=b;

5. Транзитивность: если a,b,cAa φ b&b φ c→a φ c;

6. Полнота, или линейность: если a,bAa≠ba φ b или b φ a.

Отношение φ=<Ф,М> называется пустым, если график Ф является пустым множеством. Т.е. φ=<Ø,М>. Другими словами имеется область задания отношения, на котором не задан график отношения.

Отношение φ=<Ф,М> называется отношением равенства, если Ф=ΔМ. В теоретико-множественном плане можно записать, (a,bМ)(aφb→a=b). Например задано φ=<Ф,М>, М={1,2,3}, Ф={<1,1>,<2,2>,<3,3>}. Данное отношение является отношением равенства.

Отношение φ=<Ф,М> называется отношением неравенства, если Ф=М²\ΔМ, т.е. (a,bМ) (aφb→a≠b). Например задано φ=<Ф,М>, М={1,2,3}, Ф={<1,2>,<2,3>,<3,1>}. Данное отношение является отношением неравенства. Отношения «5 > 3» и «3 < 10»также являются примерами отношения неравенства.

Отношение называется отношением частичного порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением линейного порядка, если оно является отношением частичного порядка и линейно.

Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

Отношение называется отношением строгого линейного порядка, если оно — линейное отношение строгого порядка.

Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Классом эквивалентности, порождённым элементом х, называется множество всех элементов из A, вступающих с х в отношение эквивалентности.

Фактор-множеством множества А по отношению эквивалентности φ называется множество всех различных классов эквивалентности, которое обозначается A/φ.

Мощность фактор-множества A/φ называется индексом разбиения, порождённого отношением φ.