4.3 Операции над отношениями

На отношения переносятся основные операции над множествами, но они могут выполняться только на одной и той же области задания.

Объединением отношений φ₁ и φ₂ на множестве М называется отношение φ₃:

φ₁φ₂ = φ₃, φ₁ = <Ф₁, M>, φ₂ = <Ф₂, M>.

φ₃ = <Ф₁Ф₂, M>,

<a, b>Ф₁Ф₂<a, b>Ф₁<a, b>Ф₂ & a, bM.

Например, пусть имеем два отношения: φ₁ = <Ф₁, M>, φ₂ = <Ф₂, M>, M = {2, 3, 4}, Ф₁ = {<2,1>, <2,2>, <2,4>}, Ф₂ = {<2,1>, <2,3>, <4,4>}

Тогда объединение этих отношений φ₃ = <Ф₃, M>, Ф₃ = Ф₁Ф₂ = {<2,1>, <2,2>, <2,4>, <2,3>, <4,4> }.

Отметим, что для операции объединения над отношениями справедлива следующая запись:

x(φ₁φ₂)yx φ₁ yx φ₂y

Пересечением отношений φ₁ и φ₂ на множестве М называется отношение φ₃:

φ₁φ₂ = φ₃, φ₁ = <Ф₁, M>, φ₂ = <Ф₂, M>.

φ₃ = <Ф₁Ф₂, M>,

<a, b>Ф₁Ф₂<a, b>Ф₁&<a, b>Ф₂ & a, bM.

Например, пусть имеем два отношения: φ₁ = <Ф₁, M>, φ₂ = <Ф₂, M>, M = {1, 2}, φ₁= <{<1,1>, <1,2>}, {1, 2}>, φ₂ = <{<1,2>,<2,2>}, {1, 2}>

Тогда пересечение этих отношений φ₃ = <Ф₃, M> = <{<1,2>},{1, 2}>.

Отметим, что для операции пересечения над отношениями справедлива следующая запись:

x(φ₁φ₂)yx φ₁ y&x φ₂y

Операции объединения и пересечения также, как и для множеств применимы для любого числа отношений.

Отношение φ₃ называется разностью отношений φ₁ и φ₂, если

φ₁ = <Ф₁, M>, φ₂ = <Ф₂, M>.

φ₃ = φ₁\ φ₂ = <Ф1\Ф2, M>,

<a, b>Ф₁\Ф₂<a, b>Ф₁&<a, b>Ф₂ & a, bM.

Например, пусть имеем два отношения: φ₁ = <Ф₁, M>, φ₂ = <Ф₂, M>, M = {1, 2, 3}, Ф₁= {<2,2>, <1,2>, <3,3>}, Ф₂ = {<1,1>,<2,2>, <3,3>}

Тогда разность этих отношений φ₃ = <Ф₃, M> = <{<1,2>},{1, 2, 3}>.

Отметим, что для операции разности над отношениями справедлива следующая запись:

x(φ₁\φ₂)yx φ₁ y&x φ₂’ y

Над отношениями выполняются также операции инверсии и композиции.

Если φ = <Ф, М>, то инверсияφ^-1 = < Ф^-1, М >.

Для того, чтобы найти инверсию отношения, необходимо проинвертировать элементы его графика на множестве М. Отметим, что для операции инверсии над отношениями справедлива следующая запись

х φ^-1у уφ х.

Например, для отношения φ=<Ф, М>, М={1,2,3}, Ф={<1, 1>, <1, 2>,<1,3>}, инверсия φ^-1= < Φ^-1,М> и Φ^-1= {<1, 1>,<2, 1>, <3, 1>).

Композицией двух отношении является новое отношение, у которого компонируют графики отношений.

φ₁ = <Ф₁, M>, φ₂ = <Ф₂, M>.

φ₁φ₂ = <Ф₁Ф₂, M>

Например, пусть имеем два отношения: φ₁ = <Ф₁, M>, φ₂ = <Ф₂, M>, M = {1, 2, 3}, Ф₁= {<1, 1>, <1,2>, <1, 3>,<3,3>}, Ф₂ = {<1,1>,<2,3>, <3,1>,<3,2>}

Тогда композиция графиков этих отношений равна Ф₃ = Ф₁Ф₂ = {<1,1>, <1, 3>,<1,2>, <3,2>, <3,1>}.

Отметим, что все операции над отношениями могут выполняться только на одной и той же области задания, и в результате выполнения операций снова получается отношение с той же самой областью задания

Введем операцию, меняющую область задания отношений.

Пусть φ =<Ф, М>, иАМ, тогдасужением отношения φ на множестве А называется новое отношение

φ₁ = <ФA², A>

Например, φ =<Ф, М>, М={ 1,2,3}, Ф = {<1, 1>,<1, 2>, <1, 3>}, A = {1,2}. Тогда φ₁ = <{<1,1>,<1,2>},{1,2}>.